过椭圆外一点引两条切线方程

切线、切点弦与同构式

一、圆的切线和切点弦

结论一、圆上一点处的切线方 程是；

结论二、圆外一点引两条切线 的切点弦方程是；

结论三、圆上一点处的切线方程式； 结论四、圆外一点引两条切线的切点弦方程是.

二 、椭圆的切线和切点弦

结论一、椭圆上点处的切线方程是；

【证明】设切点为，因为点在切线上，所以. 椭圆于直线联立方程，消去变量并整理得：

化简，得

，

由于直线与椭圆相切，则方程组只有一个根，且该根为，于是

化简，得

故可得切线方程为.

结论二、椭圆外一点引两条切线的切点弦方程是.

【证明】 设切点坐标为，，则切线，的方程分别为，.

又因为直线，过点，所以

上面两个式子说明，点，点同时满足直线方程.

因为两点确定一条直线，所以的直线方程是.

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这里用到了同构式思想.

我们把结构相同的两个式子或多个式子，称为同构式.

比如和就是一组同构式.

若，则直线的方程为，因为两点定直线.

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三、双曲线的切线和切点弦

结论一、双曲线上点处的切线方程是； 结论二、双曲线外一点引两条切线的切点弦方程是.

四、抛物线的切线和切点弦

结论一、抛物线上点处的切线方程是；

【证明】 设切点坐标为，切线方程为，

联立

化简，得

因为直线与抛物线相切，所有方程只有一个根，而且这个根是，则

，

又点在抛物线上，所以，故切线方程为.

结论二、抛物线外一点引两条切线的切点弦方程是.

【证明】 设切点坐标为，，则切线，方程为

,

.

又因为直线过点，所以

，

同理

.

因此直线方程为

.

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练习题：

(2019全国Ⅲ卷21)已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.

证明：直线过定点.