摘自《全国卷高考数学分析及应对》
一、解析几何产生的背景（引自人教 A 版教材主编章建跃的“解析几何的内容、方法和意义”）
（一）科学发展的需要
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
（二）数学方法论的需要
从数学内部来看，解析几何的产生也是出于对数学方法的追求。认识清楚这一点，对于我们理解解析几何的基本思想特别重要。这可以从追溯 Descartes 和 Fermat 在创立解析几何时的心路历程看出这种追求。
（1）Descartes 的坐标法思想
Descartes（笛卡尔） 1596 年 3 月 31 日出生于法国拉埃耶一个古老的贵族家庭。他从小体弱多病，但非常好学，勤于思考，他不仅在数学上做出了重要的开创性贡献，而且在哲学、生物学、物理学等众多领域都做出了杰出贡献。他是机械自然观的第一个系统表述者，被誉为近代哲学的开创者。正如克莱因指出的，“Descartes 是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家。”他以大哲学家的眼光审视数学，认为数学立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法。数学方法“是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而它是所有其他知识工具的源泉……所有那些目的在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关。” 他研究数学，目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法。他认为，逻辑本身对任何创造性的人类目标都贫乏而毫无用处；哲学、伦理学、道德学中的证明，与数学相比，花哨而虚假。那么应当如何发现呢？这就是：通过“控制下的实验”并对实验结果应用严格的数学推理。Descartes 认为，以往的几何、代数研究都存在很大缺陷：欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性，其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改进思想的科学”。所以，代数与几何必须互相取长补短。不过，他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。于是，他提出了一个计划，即“任何问题→数学问题→代数问题→方程求解”。他把精力集中在研究怎样把代数方法用于解决几何问题，其结果是创立了解析几何。1637 年，Descartes 在朋友的劝说下出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（简称《方法论》），这是一本“文学和哲学的经典著作”，包括三个著名的附录──《几何学》、《屈光学》和《气象学》，解析几何的发明就包含在《几何学》中。他用于说明坐标法思想的问题是著名的 Pappus 问题，这是一个求与若干条给定直线具有确定关系的点的轨迹问题。他用坐标法证明了给定的直线是四条时的 Pappus 结论，实际上就是通过建立平面上的坐标系，使点与坐标（有序实数对（ x ， y ））一一对应，求出 x ， y 满足的方程：
其中 A ， B ， C ， D 是由已知量组成的代数式，并把这个方程看成是点的轨迹（曲线）。这样，一个几何问题就归结为代数问题。所以，Descartes 的理论建立在两个观念的基础上：坐标观念；利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念。
基于坐标法思想，Descartes 给出了一系列新颖的结论，例如：曲线的次与坐标轴的选择无关，因此选择的坐标轴要使得方程越简单越好；在同一坐标系内写出两条不同曲线的方程，解它们的联立方程组就求出两条曲线的交点；用方程的“次”给几何曲线分类，圆锥曲线的方程是二次的（没有证明）等。
（2）Fermat 的坐标几何
我们知道， Fermat（费马） 是数学史上最著名的数学家之一，在数论、代数的研究中成就卓著。进一步地，他考虑用代数来研究曲线。在一本《轨迹引论》的小册子中，他提出要发起一个关于轨迹的一般研究，这种研究是希腊人没有做到的。他提出的一般原理是：只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则是无限的，圆、抛物线、椭圆等都是。他明确地使用了坐标的概念，而上述“未知量”实际上就是“一类数的代表”，即变量，也就是横坐标、纵坐标。综上所述，Descartes 和 Fermat 创立解析几何的原动力是他们对普适性方法的追求，因而解析几何具有浓厚的“方法论”色彩。事实上，在 17 世纪的前半叶，一系列最优秀的数学家已经接近了解析几何的观念，但只有 Descartes 和 Fermat 特别清楚地意识到了创立新的数学分支的可能性。唯有作为哲学家的 Descartes，才提出了“创造一种方法，以便用来解决所有的几何问题，给出这些问题的所谓一般的解法”的思想；同样的，唯有作为精通数论并对字母代表数的思想能应用自如的大数学家 Fermat，才能洞察数量方法的深远意义，而且注意到代数具有提供这种方法的力量，并用代数方法来研究几何。总之，几何、代数和一般变量概念的结合是坐标法的起源；只有像 Descartes 和 Fermat 这样具有综合性知识结构的大家，才能顺应时代的要求而发明这一对数学发展具有决定性影响的方法。了解这一点很重要，因为这能使我们理解为什么在中学数学中要学解析几何，以及为什么解析几何课应当把重点放在对坐标法的理解和应用上，而不是把精力浪费在一些复杂的求曲线方程的代数变换上。
二、方法本质和问题本身在高考层面的思考
解析几何是用代数方法研究几何问题，那么遇到几何图形，我们把它代数化，所得坐标关系式的简洁程度和处理的简便性，就是解析几何的精妙所在，所以有观点认为：对于大众数学来说，更应该让学生接触到解析几何方法的本质，不要认为解析几何题目需要几何分析就是好题。但解析几何问题首先是个几何问题，不能丢掉最基本的几何分析，这是从问题本身来考虑。既然是几何问题，就从几何要研究的基本问题，比如“位置关系、长度、角度、面积”等来对高考题进行系统性的整理。为了更加精确地刻画运动，必须得精确地刻画点的位置，引入了直角坐标系，可以精确地刻画运动。我们总期望最小的投入，最大的产出，运动中的不变性就是运动所具有的性质，所以定点定值问题和最值问题就是解析几何永恒的热点。解析几何可以归结为“代数化”（方法本质）、“适度几何分析”（问题本身）、“结论”（作为几何图形的性质），强化学生对这一章以及整个数学的理解，学生按什么方式去理解，就决定了学生的思维方式，再通过具体的题目反复去强化这些本质的理解。站在高考层面，几何法常常简洁，但对思维要求较高，解析几何的解题步骤常常可以归结为程序化的步骤：第一步：联立方程，韦达定理；第二步：条件坐标化（这一步对思维要求相对较高）；第三步：利用点在曲线上消元；第四步：计算验证翻译。完全一个机械化的步骤。正如笛卡尔所说“欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性，其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改进思想的科学””站在高考层面基于全国卷的研究，二者相辅相成。新的考试说明删除了平面几何选讲，是基于这部分知识是初中就应该掌握的，这些几何中基本的分析在圆锥曲线或者立体几何中得到体现。其实全国新课标卷一直注重几何分析，注重适度几何分析。
三、适度几何分析的理解
就是注重几何分析，但几何分析都是最基本的，比如看到直径，想到所对的圆周角为90°，在抛物线中，借助准线构造直角梯形或直角三角形，三角形是基本的几何图形，平行常常会有相似等等，其实全国新课标卷一直都是如此。下面以具体的高考题来展示一下。
（一）兼顾的几何分析
解读：2016 文科高考题呈现的特点，既可以用几何分析，也可以通过解析法，对几何的思维要求也比较低。
（二）注重几何分析，几何分析和解析法相辅相成
解读：直线和圆相交，垂径定理构造直角三角形（几何），这是解决问题的关键，也是最基本的几何分析，由抛物线对称性，可以得到 A 的坐标（代数），把半径表示出来。
解读：看到直线和圆相交，垂径定理是条件反射，在构造的直角三角形中（几何），注意到渐近线的斜率为
(代数)，可以表示出来，从而根据离心率和渐近线的关系可以求得离心率。
解读：由 M 为 FN 的中点，联想到中位线（几何），求出 M 的横坐标，通过焦半径公式（代数），可求得 |FN| 的一半。
（三）几何法优化解题策略，平面几何选讲中圆的知识融入其中
解读：由上分析，几何分析都是抛物线和圆最基本最重要的几何分析，甚至应该形成条件反射，而几何分析的应用极大地简化了解答过程。
（四）引入运动变化的观点，展示整个变化过程，直观明了，以形辅数
解读：圆 P 的半径最长，首先是通过运动变化，对特殊位置的考察，得到答案，再从几何角度加以证明，在求公切线的时候，解析法是通过切线建立两个方程，也可以从几何角度，构造直角梯形及相应的直角三角形。
