数学课堂：若遇圆方正，勿忘对称性

【本期作者简介】

王黎之（笔名），中学高级教师，教龄卅年。教学之余致力于初中数学解题教学及对各地中考的研究，对初中各年级知识点及中考教学有独特的认识与总结。参编《初中数学好题赏析1，2》、《哈尔滨2020真题模拟》等著作多套。在省级以上数学刊物上发表文章近千篇。

若遇圆方正 勿忘对称性

【前言】：

初中数学中，正方形、正三角形、圆是最特殊的图形，它们的特殊性主要体现在旋转对称性和轴对称两个方面，因此遇到有关它们的问题，从这些对称性方面入手分析是最自然的最顺畅的方法。本期所选问题正是由正方形和圆结合的一个问题。

【问题展示】

如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上运动，直线AP与射线DC交于点Q，以PQ为直径作⊙O．当⊙O与对角线BD所在直线相切时，求PC的长．

【解法赏析】

【思路历程及要点总结】：

本题隐含CE与⊙O相切这一结论，这也是分析本题的第一突破口.如何能想到这一点？这是由正方形的特殊性所决定的.因为正方形具有特殊的旋转对称性和轴对称性，思考与添线的方向主要是从这两个方面展开.

“只要见方正，旋转与对称”，只要见了有关正方形的问题，主要是从旋转全等（相似）和对称全等这两方面来考虑.

“对称与翻折，两旁必连接”，只要见到轴对称的条件，对称轴两边的对称线段一定要作出来，这样才能体现或充分利用上对称这一条件，这是一条百试不爽的规律，细心的老师可以去找类似的问题体验一下，往往作出一条这样的线就能切中要害，立即打破僵局.其实，这题整个分析、解决过程中都离不开正方形与圆的对称性.

从题目条件的叙述及对问题的直觉感知，发现这个问题不是一种情况，对学生和老师来说，应该不是一件困难的事情.由于限制了动点的单边运动（点P在点B一个方向的射线上运动），有两种情况是必然的.

这两种情况一定有内在联系的，这也是数学问题的普遍规律：即多问间多是有联系的，一问多种情况间是有联系的.由于这两种情况的条件是同一的，因此本质是相同的，所以方法也是相同的.在分析时，我们着重画出一种图形进行叙述和分析，对第二种情况分析时，无需动脑，只要按部就班地模仿第一种情况即可.对照第一种的解决过程，按字母到图中去找，叙述过程时，采用略述的方式.上面过程的叙述方法，我是故意把两种情况根据本质相同揉和在一起，主要是强调问题间的联系，对学生来说，这样思维难度较大，因此教学生时，要分开叙述，一详一略.