数学分析中最重要的定理之一——中值定理，一个简单的证明

让我们来证明数学分析中最重要的定理之一，唯一的要求是对导数有一个基本的了解。

连接f(a)和f(b)的直线等于a和b之间某一点的切线。在数学中，给出精确的表述是很重要的，因为图像有时会在你没有意识到的情况下假设一些东西 (在这个例子中，曲线永远不会低于连接f(a)和f(b)的直线）。

下面是正式声明。假设一个函数在区间[a,b]上是连续和可微的。那么存在一个数，我们称之为c，使得下面的方程成立：

证明

这里的技巧是重新构造函数。思考一下下面定义的函数：

这个新的函数，称之为g(x)。你可能已经注意到，(f(b)-f(a)/(b-a)项是(a,f(a))和(b,f(b))之间的连接线的斜率。在x=a和x=b时，可以用一些简单的代数来验证g(a)=g(b)。

现在，在[a,b]上，由于g(x)是连续的，g(x)将在[a,b]上得到其最小值和最大值。数学家说[a,b]是实数的一个 "紧凑 "子集。

那么有两种情况。

情况1。如果最大值和最小值都出现在端点，即x=a和x=b处，那么函数的最大值和最小值在[a,b]的所有地方都是一样的，因为g(a)=g(b)。在这种情况下，g(x)在任何地方都是一样的，代数证明了f(x)一定是连接(a,f(a))和(b,f(b))的直线。

情况2。如果最小值或最大值出现在中间，那么我们从微积分中知道，导数在该点一定是零。让我们把这一点称为c，首先算出导数：

然后我们把c处的导数设为零（注意，从df(x)/dx到f'(x)的符号转换，用'符号表示取导数）。

直到最后，我们得出结论，在这个点c，有：

这样，证明就完成了。