帮你理解特征值与特征向量
十一月了，工科院校少学时<线性代数>差不多结课了吧，but，不少同学对这门课还是感到一头雾水。从“线性相关性“到“极大无关组和秩“再到“特征向量“等等，几乎所有的概念从课本到课堂都是抽象解释和演绎，最终导致的现象是“课已结门未入“。本学期初发了一篇帖子“线性代数这样学”，但凡认真看过的同学定会有所裨益。今天我再写一个简短的帖子直观讲一讲“特征值与特征向量“。
A是n阶方阵，若存在数λ和n维非零列向量X使得 AX=λX，则称λ是A的特征值，非零向量X是特征值λ的特征向量。
"特征"在中文字面上意思是有明显“特点”“身份”“标签”“标志“，对方阵A而言，这个λ“characteristic value/eigenvalue"的翻译贴切而又生动。
为什么定义中强调特征向量是非零向量？因为任何n阶方阵与n维零向量的乘积等于零，即A0=0=λ0,显然这是普遍真理，而不是方阵的某个“特征”。
由定义可知，特征值λ=1，X1是特征向量。
X2不是特征向量，更不是对应特征值λ=1的特征向量。
容易计算A(KX1)=KX1,（常数k非零）
又由定义可知，5也是特征值，X3也是特征向量。
本例中，特征值有2个，分别是 1和5。
众所周知，最简单的线性变换是数乘变换，如y=ax，几何上是一条直线。而 AX=λX恰好反应了这个线性本质。
通俗地说，方阵其实是一个线性系统，先天具备了线性特征（用特征值描述），通过右乘向量就可以鉴别出哪些向量是特征向量。
直观上，特征向量是指在方阵A的作用下进行比例为λ（特征值）的伸缩并保持方向不变的非零向量。
若在此基础上进一步探讨特征值以及特征向量的性质，你将发现线性空间的别样魅力。
微积分学习必看视频（不看后悔）
本站辅导贴链接（拿去不谢）
一、极限与连续
（5）洛必达法则求极限实例详解
二、导数与应用
三、不定积分与定积分
四、微分方程
（3）更新整理（1987-2019）考研数学微分方程真题详解汇总
推荐阅读：为什么要学习高数
考研数学每周练（三）
考研数学每周练（二）
考研数学每周练（一）