修订 | 被毕达哥拉斯从音乐中所发现的调和级数

[遇见数学翻译小组] 核心成员: 刘雄威

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2019.9.9 替换了五度音程图片, 及一处错误.

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我们曾经在学校里学过两种级数：
● 等差级数(arithmetic series)，例如:

● 几何级数(geometric series)，例如:

有一个同样基础的级数，称之为调和级数(harmonic series)：

调和级数虽然形式上很简单，但是包含了许多有趣的数学、一些具有挑战性的奥数题、几个出人意料的应用、甚至一个著名的未解决的问题。而有关调和级数的许多问题背后的答案都与我们最初的直觉相违背，因此非常值得了解与学习。

▌为什么该级数称为"调和"？


▲ 中世纪毕氏音程木刻画，在图中显示毕达哥拉斯正在使用钟与其他乐器。

这个名字起源于希腊人，我们知道希腊人在许多学科上都造诣颇深。毕达哥拉斯是第一个研究由各种长度的弦所发出的音符的人。如果将一根拨弦时发出中央

音的弦，它的长度剪至原来的

，这根弦便能发出

音符（音乐家们称从

到

为一个*五度音程*）。如果弦的长度减半,它将发出高音

，即高出一个倍频程。这些音符和它们对应的弦长是毕达哥里斯的和声学基础。

在调和级数中，

和

的调和均值为

。现在将这些数字取倒数，即

形成等差数列，因此,那些取倒数即为等差数列的数列，也就是调和级数。



▲ 立方体和八面体

毕达哥拉斯的思想由数学占主要地位，但它也非常接近於神秘主义。例如,他指出立方体有

个面、

个顶点和

个边。由于

、

和

是调和级数，毕达哥拉斯立方体是一个“和谐”物体。还有其他"和谐"物体吗？有得——八面体，它有

个面,

个边和

个顶点。还有其他的吗？虽然这是个简单的问题，但我还没深入地思考过，这部分还需要了解欧拉的多面体公式和佩尔方程的解的内容。

▌调和级数的值
不像等差级数和几何级的公式，调和级数的值没有简单的公式对应

即便如此，我们也可以回答这个问题：调和级数“取极限”究竟是怎样？

也许你会认为调和级数收敛于某个常数，因为随着项的增多，所增加的项在逐渐变小。确实如此，但是如果你用简单的计算器或台式电脑试着计算，你会得到一个有限的数字。这是因为一般的运算器只能处理一定大小(通常为

)的数字,并且将

视为零。这样的计算器会告诉你，调和级数的总和是大约

，如果你让它运行足够长时间的话。

然而，实际情况恰恰相反——这个数列的和会无休止地增长。这个令人惊讶的结果首先被600多年前的法国数学家尼克尔·奥里斯姆（Nichole Oresme）使用比较审敛法所证实。他指出，如果你把该级数

中的某些项换成更小的项

并将它的某部分括起来，这个级数就变成

这个总和就显而易见地比我们原认为的调和级数还要小。

用

表示调和级数的

项部分和，也叫作第

个调和数。奥里斯姆认为

因此，随着增加的项越来越多，

增长的速度越来越慢。可以观察到一个很有意思的现象，便是除了

，以外，

不再等于任何整数。我看到这个问题在不止一篇数学奥林匹克试卷中出现过，而这个问题的解答，因其推理的严谨，同样是值得研究的。

设

，取整数

使得

，有

令

的最小公倍数为

，其中

为奇数。现在等式两边同时乘以这个数字，可得

当乘以这个最小公倍数时，等式左侧的所有项都将是整数，但有一项除外：

不是整数，因为

是奇数，所以等式左侧不是整数。因此等式右侧也不是整数。这意味着这

不是整数。

▌创纪录的降雨量

想知道天气记录多久被刷新一次？调和级数也给出了答案。

如果我们手头有张空白的百年降雨量表格。现在预计百年内会有多少次打破降雨纪录？当然假设降雨量是随机的，因为任何一年的降雨量对以后任何一年的降雨量没有影响。

第一年无疑是创纪录的一年。在第二年，降雨量有同等的可能性大于或小于第一年的降雨量。因此，第二年也创纪录的可能性为

。因此，在保存纪录的头两年，预计创纪录的年数为

。继续到第三年。第三次观测的概率为

，因此三年内记录的降雨量创纪录预期数量为

。继续这一推理，得出的结论是，经过

次观测对应的预期创记录年数是

你猜一百年的降雨量表中打破降雨量记录的次数是多少？如果是

，那几乎是正确的，因为调和数列的前一百个项的总和是

。

即使在某一年降雨量创纪录之后，没有人会怀疑这一纪录将在未来某个时候被打破——也许在明年。因为无限次的观测对应创纪录年数显然是无穷大。我们有直观的理由相信调和级数是发散的。

以下是

取不同的值时所对应的

：