郑毓信：“数学深度教学”十讲之六——思维的灵活性与“变化的思想”
相对于思维的深刻性，人们在谈到“数学与思维发展”这一论题时恐怕更容易想到思维的敏捷性，并将此归结为单纯的“快”。这样的认识应当说有一定的片面性，因为“快”并非数学的主要诉求，而应是达到更大的思维深度（这也正是数学教学为什么应当特别重视“长时间思考”的主要原因，对此我们将在第七讲中做出专门论述）。另外，相对于对“快”的简单提倡，我们应更深入地去思考如何提升学生的思维速度。以下就围绕“变化的思想”这一普遍性思维策略做出具体分析，即我们应当通过适当变化更有效地解决问题，并很好地实现认识的不断深化。
应当指出的是，前一讲中所提及的“联系的观点”显然也与“思维的灵活性”密切相关，因为善于将事物和现象联系起来考察显然也应被看成思维灵活性的具体表现；进而，在“联系的观点”与“变化的思想”之间更可说存有互补的关系。例如，正如人们普遍认识到的，求解各种较复杂的算术应用题的关键，是与基本题型的比较以及解题模式的适当变化，从而就同时用到了“联系的观点”与“变化的思想”。也正因此，虽然以下的论述主要集中于“变化的思想”，但我们不应忽视“联系的观点”在这一方面的重要作用。
为了清楚地说明“变化的思想”的重要性，举教学工作的一个实例。
【例7】是“学生笨”还是“老师笨”？
这是俞正强老师的亲身经历。
班上有一个女生数学学得不好，因此俞老师经常给她“开小灶”，即有针对性地进行个别辅导。有一次，俞老师给这个学生讲一道题目，讲了3遍学生还是不懂，这下俞老师可真有点失去耐心了：“讲了3遍还是不懂，你可真笨！”没想到学生对此很快做出了反应（由此可见，在数学学习与思维的灵活性之间没有必然的联系）：“你讲了3遍还没有把我讲懂，你才真正的笨！”
这两个人究竟何人真笨？由以下实例我们可以获得一定的启示——
如众所知，中医治病以辨症为先。但是，由于号脉、看舌苔等传统辨症方法有很大的经验性质，因此现实中就常常会发生“对不上号”的现象，即医生所开的药有时似乎完全无效。在这一点上，我们恰恰可以看到“好中医”与“一般中医”的区别：前者在先前药路不对的情况下往往能够及时改变，采取另一全新的路子，后者则往往只会“一条路走到黑”……
由此可见，这正是这一实例中教师的一个不足之处，即未能通过“求变”有效地解决问题！
就“变化的思想”在数学中的应用而言，我们也可区分出若干不同的层次或方面，这不仅直接关系到我们如何更有效地解决问题，也与数学的整体发展密切相关。
“特殊化”可被看成通过变化从而有效解决问题最常用的一种方法。正如著名数学家希尔伯特所指出的：“在讨论数学问题时，我们相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决或完全没有解决。这时，一切有赖于找出这些比较容易的问题并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一。”
“找次品问题”就可被看成这样的一个例子。为了解决如下较复杂的问题：“如果243个产品（螺丝钉）中有1个次品（较轻），用天平至少称几次能保证把它找出来？”可以先行研究与此相类似、但又较简单的问题，如将问题中产品的个数改为5或9等。这不仅有助于更好地理解问题，我们往往还可通过这一方法找出普遍性的解题模式或解题策略，从而最终解决原来的问题（详见另著《小学数学教育的理论与实践》，第4章）。
另外，如果说数学发展的主要线索可被归结为“由简单到复杂，化复杂为简单”，那么从这一角度我们也可清楚地看出一般化方法的作用，包括其与特殊化方法之间的辩证关系：“一般化”正是数学中实现“由简单到复杂”的发展的主要手段，我们往往又可通过“特殊化”化复杂为简单。
应当强调的是，从实践的角度看，为了有效地应用特殊化与一般化等方法去解决问题，我们应特别重视针对具体情况做出更深入的研究。从“深度教学”的立场看，相对于各种专门化的研究而言，我们应当更加重视这些方法或思维策略的普遍意义，即应当超出数学，并从更一般的角度进行分析思考，从而实现“通过数学帮助学生学会思维”的目标，特别是努力提升他们的思维品质。
事实上，特殊化与一般化方法都有十分普遍的意义，由以下一些普遍经验就可清楚地看出：“解剖麻雀”“由点切入，以点带面”……由此可见，在此真正需要的就是更强的自觉性，特别是，就整体而言，我们应特别强调这样一个思想——“变化的思想”。
最后，从上述角度可更好地理解笔者的这样一个主张：数学基本技能的教学，不应求全，而应求变。以下是这方面的一个具体经验：“我提倡'一题一课，一课多题’——一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”［1］另外，在笔者看来，我们也可从同一角度更好地理解“变式理论”，特别是“问题变式”的意义。
与此相对照，数学教学应当防止与纠正一些做法，即繁琐哲学、求大求全，包括对于形式的片面强调等。例如，以问题的事实性内容作为区分不同问题类型的主要依据，却未能深入分析它们的内在结构，乃至要求学生通过机械记忆和简单模仿去解决问题等。这事实上就是人们对于传统应用题教学的主要批评：“小学数学教学中，应用题教学作为培养学生解决问题能力的重要载体，积累了丰富的经验……然而，在几十年的演变过程中，应用题教学的理念与价值不断转变，逐渐形成了一套固定的思考模式和解题模式。以至于将应用题的类型机械地归结为11种，解题模式由一步应用题，到两步应用题（复合应用题），再到典型应用题，形成了一种'程式化’的解题套路……使应用题的教学陷入困境，学生的问题解决能力没有得到切实的培养。”［2］
由此可见，相对于用“问题解决”（或“解决问题”）简单地去取代传统的应用题教学，积极从事“应用题的当代重建”是一个更加合适的立场。另外，从更一般的角度去分析，我们在教学中应特别突出这样一个关键词：“变”！
参考文献
［1］李成良.聊聊“懒”课——谈谈高效课堂［M］//人民教育编辑部.教学大道——写给小学数学教师.北京：高等教育出版社，2010：65.
［2］马云鹏，等.从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路［J］.小学数学教师，2018（6）.