2019高考北京理综第24题雨滴下落阻力问题的不同建模比较

一、引言

自2019年高考结束以来，不少师生对2019高考北京理综第24题中涉及的“雨滴下落过程中的阻力”问题产生了浓厚的兴趣，对雨滴受力的建模方式产生了激烈的争论。

二、试题回放

图1 高考题照片

三、参考解析

图2 参考答案

四、几种常见建模方式的比较

1.圆盘弹性建模

把雨滴抽象成一个半径为r的圆盘，以圆盘为参考系，气流的速度为v。则在Δt时间，作用在圆盘上的空气柱的长度为vΔt，该空气柱与圆盘发生弹性碰撞后，等速反弹。

由动量定理易得，圆盘受到的空气阻力为

（1）

2.圆盘非弹性建模

把雨滴抽象成一个半径为r的圆盘，以圆盘为参考系，气流的速度为v。则在Δt时间，作用在圆盘上的空气柱的长度为vΔt，该空气柱与圆盘发生碰撞后，贴着盘面从四周等速散开。

由动量定理易得圆盘受到的空气阻力为

（2）

五、文献资料

资料显示，物体在空气中运动时，受到的空气阻力与物体的风阻系数C、物体的迎风面积S、空气的密度ρ和相对速度v都有关系。空气阻力的具体表达式为

（3）

风阻系数C与物体的外形有关，外形不同的物体，风阻系数也不相同。其中，圆盘的风阻系数约等于1。

所以，当气体的密度用nm表示，圆盘的面积用πr^2表示时，圆盘的空气阻力表达式可表示为

（4）

六、小结

比较（1）、（2）和（4）式可以发现，尽管上述两种建模方式都可以给出对2019高考北京理综第24题第3问的证明，都能得出“雨滴所受阻力与下落速度的平方成正比”的结论，但是上述两种建模方式得出的结论都与真相相差甚远。

或者说：把雨滴抽象成一个圆盘，是不合适的。

应该存在一种与真相更接近的建模方式，那是什么呢？

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