八年级全等模型-截长补短、角平分线模型

如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

这个题目算是截长补短里面的经典题目了，整个题目也是以角平分线全等模型为基础的，大部分同学对截长的证明方法了然于胸，当老师让他们用补短的方法证明时，就不知所措了，不知道从哪里下手，这是没有很好的运用角平分线全等模型的缘故。在大部分能找到答案的方法中，也只有截长的方法，事实上，根据全等模型，这个题目有多个思考方向，学生们在充分联想、广泛联系上，做的还是不够，联想联系不够充分。

先来看看截长的方法：由于有角平分线，我们能够想到角平分线的全等模型，于是就有截长的方法，取BM=AB，连接EM，则由角平分线全等模型，△ABE≌△MBE，再根据全等性质，求得角相等，证下一个相等。

补短的方法：直接补短，延长CD至N，使得DN=AB（当然，也可以在AB边作类似的动作，这里就不做说明）。连接EN。只需证明BC=CN即可。发现到这里有些受阻了，感觉并不是很好，注意到，这里一定会有BC=CN，那就有∠N=∠EBC=∠EBA  又因为AB∥CD，从而BEN三点共线！！！从而E一定为AD的中点，那我们该怎样去证明呢？

换个思路：延长CD至N，使得CN=CB，这也是角平分线的全等模型，然后证明DN=AB即可。这样的证明思路，其本质是做辅助线的方法的区别，而不是解题过程的区别。

其实，这个题目还有一个重要的条件我们没有用到，也就是平行线之间的角平分线模型，我们很容易得到∠BEC=90°，这样BE⊥CE这条角平分线，从而我们可以想到角平分线另一个全等模型：垂直于角平分线的线段，于是有证法三。

此题还有没有别的证明方法？当然有，比如，取BC的中点，用斜边上的中线等于斜边的一半以及梯形ABCD中位线的性质，即可证明，因为用到八下的知识，这里就不写出来了，已经往前学习了的同学，可以考虑去证明一下。