【新教材研究】2019版苏教版教材“章首语”的内涵解析
夏天点个赞，请吃西瓜哦【前言】苏教版新教材将于2020年9月份投入使用，新教材较旧教材相比确实有很多变化，无论是知识结构还是素材设置都有较大的调整与修订，研究教材理应成为一线教师进行教学研究的基本常态，正如省教研室李善良主任在培训中倡导的那样：“教材需要大家共建”。【今日荐读】《2019版苏教版教材“章首语”的内涵解析》，本文发表于核心期刊《数学通报》2020年第7期。
新版苏教版《普通高中教科书·数学》（下称新版教材）经过多年的研制、试教、调整，于2019年获得通过并开始投入使用.新版教材较2004版苏教版教材（下称旧教材）相比在体系上发生了较大变化，同时与旧教材保持一致的内容也较多，每章的开篇都配有章首语便是其中之一.章首语是一章之首，提供了与本章教学内容相关的问题情境，一般是以学生熟悉的生活背景或学习经验作为引子，它们是本章核心内容的原型，在该章中将会多次出现，起到统领全章的作用.同时，章首语也含有引领整章内容的问题，是该章的知识生长点、核心内容或研究方法，对本块内容的学习起先行组织者的作用.在旧教材的使用过程中，一线教师也越来越清楚地认识到章首语的教学价值和教学功能，在倡导单元教学和素养提升的背景下，审视新教材中章首语的内涵就显得十分必要，本文拟以新版教材必修中的章首语为例进行阐述，敬请批评指正.1.强调认知基础，重在经验唤醒奥苏贝尔曾经说过：“如果我不得不把教育心理学的所有内容简约成一条原理的话，我会说影响学习的最重要的因素是学生已知的内容，弄清了这一点后，再进行相应的教学.”学生的学习活动并不是简单的信息积累，而是新旧知识经验在相互作用下引发了知识结构的重组.有效的学习是学生的经验体系在一定环境中由内而外地“生长”，必须以学习者原有的知识经验为基础来实现知识的建构.新版教材在编写中特别关注学生的认知基础，特别是在章首语的编写上更体现这一点，下表是新版教材中相关章节的章首语主要表述语句. 章节 主要表述语句第1章 集合在过去的学习中，我们已经使用了“自然数集”“有理数集”“实数集”等术语.……第3章 不等式我们曾经用等式（方程）刻画一些相等关系，用不等式刻画一些不等关系，用函数刻画一些函数关系，……第4章 指数与对数在初中，我们就知道了
……第5章 函数的概念与性质在初中，我们学习了一次函数y=kx b，（k，b为常数，k≠0），反比例函数y=k/x，（k为常数，k≠0），二次函数y=ax^2 bx c，（a，b，c为常数，a≠0），知道了“函数”的定义……第6章 幂函数、指数函数与对数函数a^b=N，对此，我们已分别学习了乘方运算、开方运算和对数运算.第8章 函数应用在过去的学习中，我们已经看到，函数是描述客观世界中变量关系和变化规律的最为重要的数学模型.第10章 三角恒等变换在《数学（必修第一册）》第7章中，我们从点的数学表示开始初步研究了圆周上一点的运动.通过上表可看出，高中许多知识的学习是“过去的学习”的延续，是“初中”知识的生长，这些章首语力求从学生已有知识结构中进行知识经验的唤醒，它既是知识生长的“种子”，也是学生进一步学习的认知“导航”，所有的教学活动都将建立在这些知识经验基础之上.初中阶段数学知识相对具体，高中阶段知识则相对抽象，通过章首语帮助学生从已有的认知出发完成从初中到高中的过渡，特别是刚进高一的必修阶段，这一点尤为重要.关注学生认知基础是实施有效教学的基础，掌握学生认知基础是实施有效教学的前提，发展学生认知基础是实施有效教学的保证.找准知识起点，关注经验起点，激活思维起点，在学生原有认知水平上组织和开展教学活动，提高数学教学的有效性.2.强调知识关联，凸显整体建构2017版《数学课程标准》指出：依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联.数学是一个不可分割的、相互联系的整体.数学的整体性不仅体现在内容之间的联系上，还体现在数学核心概念所反映出的数学思想方法的前后一致性上，数学教育的价值就蕴藏在这些数学核心概念及其相互联系之中.因此，数学知识的整体性和联系性，决定了数学教学应从大处着眼、小处着手.数学核心素养所具备的整体性和联系性也决定了数学教学要强化整体性，凸显知识的联系性.新版教材在章首语的设计上很强调从知识的关联性去引入问题，比如必修1第3章这样写到：在研究的过程中，我们看到，相等关系与不等关系是紧密联系的.例如，一元一次方程ax b=0与一元一次不等式ax b>0，在结构、性质、解法等方面就具有很大的相似性.我们还看到，等式、不等式、函数之间也是紧密联系的.例如，一元一次方程ax b=0、一元一次不等式ax b>0与一次函数y=ax b之间具有“统一性”：……这样的表述实际是引导学生回顾以往的学习历程，为进一步学习新的函数模型提供经验范式，体现了整体教学的设计思路.从学生学习角度看，唤醒他们在初中初步建立起的用函数的观点认识方程、不等式的认知过程和活动经验，引导他们感悟数学知识之间的关联，充分认识函数的重要性，认识函数是贯穿高中数学课程的主线.从知识的关联性上，方程、不等式是函数的两类集合({(x，y)|f(x)=0}和{(x，y)|f(x)≠0}）的代数表征，同时它们又是函数图像上的点对x轴的位置划分，即图像与轴交点的横坐标就是方程y=0的解，落在x轴上（下）方区域内的点的横坐标就是不等式y>0(<0)的解.这样的章首语三位一体地揭示了函数、方程、不等式的内在关联，同时也凸显了函数的核心地位，引导学生在学习函数过程中要重视其在研究方程、不等式方面的价值体现，以及在解决方程和不等式问题时要从函数的角度进行审视，这样的双向认知活动为更好地把握知识的本质提供示范.像这样的章首语在新教材中很多，通过揭示知识间的关系来指导学生如何进行本章内容的学习——或提供学习的思维（经验）范式，或由旧知提出新的问题，或对之前知识的拓展等，教师要充分理解这些章首语中相关知识的逻辑关联和内在联系，这样才会有体现整体性的教学设计和教学实施.3.强调问题引领，体现单元教学核心素养的提出促使教学方式要发生改变，教学设计要从设计一个知识点或课时转为设计一个大单元的教学.大单元教学设计具体体现在大观念（目标定位）、大主题或大问题（引领）、大过程（实施）.其中大主题或大问题的提出就是要打破教学课时的相对孤立的境况，改变“只见树木不见森林”的设计方式，以鲜明的主题背景或统领整章的问题为单元教学的串联引线，在大问题引领下实现每个概念的有机生成，体现一种“公理化”的知识建构序列.新版教材在某些章节的首语中就遵循了这样的编写理念，如第7章的章首语：如图1，P是半径为r的圆O上一点，P点的运动可以形象地描述为“周而复始”.那么，点P按怎样的规律不断重复出现？用什么样的数学模型来刻画呢？
三角函数概念的生长点，教材把对周期性现象的研究视为教学起点，将三角函数看成是刻画周期性现象的数学模型，用函数的观点来看三角函数，是函数概念学习的进一步深化与具体化.整个三角函数的教学过程就应该是对这个大问题不断深究和作出回答的过程，即大问题引领下的大过程，同时这个过程也是让学生经历数学地研究数学模型的全过程（提出问题——建构数学模型——研究数学模型——应用数学模型解决问题），让学生经历从周期性运动的原型，通过数学抽象到建构数学模型的过程.在解决这个问题中要始终突出三角函数是刻画周期性变化的数学模型的本质，突出周期性——不仅要在概念的建构过程中，还要在研究模型的性质时（如诱导公式的研究、三角函数的图象的学习等等）都要突出周期性的作用，并把这些研究活动看成是建构模型的一部分.由大问题（核心问题）产生系列问题的整体设计有助于学生认识知识的本质，这种建构性的学习过程更符合学生的认知规律，也更利于学生学习如何进行一般性的科学研究，有助于学科素养或者说是科学素养的养成，这就是这类章首语更深层的价值所在.4.强调现实背景，引导数学抽象史宁中教授说：“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象.”数学抽象是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学教学应尽可能地让学生参与完整的抽象活动（包括感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化），经历完整的抽象过程，这是因为学生数学抽象的素养是在抽象过程中逐步培育而成，并且只有完整的抽象活动、抽象过程才能培育出完整的抽象能力和抽象素养.基于此，与旧教材相比，新版教材在章首语编写时更重视从现实情境中进行数学抽象活动的引导与示范.如第九章“平面向量”设计了这样的章首语：冬天到了，大雪过后，白雪皑皑.如果你穿上滑雪板，站在被雪覆盖的、平滑的斜坡上，你会感到一个力拉着你向下滑行，而且斜坡越陡，这个力就越大，下滑的加速度也越大.把木块放在在光滑的斜面上，木块将向下滑动.斜面的坡度越大，木块下滑的加速度也越大.章首语出现的“力”“加速度”等都是物理中的矢量，这些矢量是学生在日常生活中能够感受到的量，也是数学中向量的原型，正是因为向量具有这样的丰富的现实背景和物理背景，为向量的概念建构提供了可行的抽象路径：从具体实例中抽象出共同本质特征——定义——数学表示.进而，我们在“向量的概念”、“向量运算”、“向量基本定理及坐标表示”等章节中都看到了物理中“斜坡上的小木块”的身影，充分体现了“向量源于力学”的历史事实.选取学生熟悉的典型实例，提供丰富的现实背景，让学生在熟悉的情境中进行不同对象（运算）的抽象过程，熟悉数学抽象的“基本套路”，这是一种完整统一的抽象活动，将能帮助他们在概念形成的学习中学会数学抽象，这正是此类章首语所积极倡导的.5.强调知识发生，还原数学本真教材在编写时往往按照知识的逻辑顺序进行，而这种逻辑顺序下的知识呈现与历史真实的发现过程可能已经不一样了（如对数的引入），可能已经是经过演绎或压缩后的成果，学生进行的学习活动往往是单向的信息输送，缺少了数学建构时的应有的直觉、猜想、试验等过程.显然，在这样的过程中学生是很难体会到数学家的思维历程，学生的思维完全被教师的讲解所代替，学生只能支配不连贯的思维碎片，并不能触及到知识的本真.新版教材在知识的编写中强调知识的发生，努力体现数学的本真.这一点在章首语中也有体现，如第12章的章首语：16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“
和
”就可以满足要求：……尽管当时的数学家都认为“
和
”这两个式子没有意义，是虚构的、相像的，但在解决许多问题时，使用类似于“
”这样的式子却带来了极大的方便.那么，
真的是无意义的、虚幻的吗？
能作为数吗？章首语往往是某一数学数学分支或模块知识的开始，这些内容往往体现数学发展的历史轨迹，更多地承载着传播数学文化的功能.在复数概念的产生过程中，许多数学家经过长期艰难曲折的探索，这其中就蕴含着丰富的数学文化课程资源.实际上，一些概念的产生本身就经历漫长的历史过程，比如复数系的建立就经历了近300多年的努力才得以建立而成，要让学生在短短的几节课时间内进行自主建构根本不可能.从知识产生的历史真相中去学习复数引入的历史需求，感悟数系的扩充原则，这是最真实的数学知识，也才能真正引发学生思维、观念和情感上的共鸣.在这些反映数学本真的数学史素材的利用上，可将知识产生的历史过程进行意义提取、适度整合，将其中的某些过程（环节）进行微型模拟（比如设计一定范围内方程有解的问题情境），让学生尝试从数学家的视角进行似真建构，在与历史相似的模拟情境中产生认知的原动力，形成数学概念的理性建构.只有尽可能地再现数学概念的产生，才可能学习数学家的思维方式，进而才可能形成理性的思维.当然，新版教材中章首语的内涵远非这些，还需在使用过程中进一步研究，充分挖掘其教学价值，真正发挥章首语的教学功能.参考文献：1.杨小丽，刘轶.基于学生需要和认知基础设计与实施教学.数学通报，2015（3）：12-152.张乃达，石志群.刻画周期性现象数学模型的建构与研究.数学通讯，2013（6）：6-113.李昌官.数学抽象及其表示.数学教育学报，2017（4）：61-644.章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程——“平面向量的概念”的教学与反思.数学通报，2010（1）：25-295.范东晖.核心素养背景下的引言课教学——以“数系的扩充与复数的引入”为例.数学通报，2017（5）：34-36 【本文系江苏省中小学教研室第13期重点课题《基于深度学习的高中数学中观教学设计的研究》(2019JK13-ZB34)研究成果】