中考数学压轴题分析:等腰直角三角形与动点轨迹问题
本文内容选自2021年郴州中考数学几何压轴题。题目以等腰直角三角形的旋转为背景,涉及动点轨迹问题,以及等腰三角形的存在性问题。题目难度一般,不过问法比较典型,值得研究。
【中考真题】
(2021·郴州)如图1,在等腰直角三角形中,,点,分别为,的中点,为线段上一动点(不与点,重合),将线段绕点逆时针方向旋转得到,连接,.
(1)证明:;
(2)如图2,连接,,交于点.
①证明:在点的运动过程中,总有;
②若,当的长度为多少时为等腰三角形?
【分析】
(1)由旋转的性质得到边角等量关系,再根据SAS证明全等即可。
(2)①由图2可以发现△AEH≌△AFG,由于∠HAG=90°,若要证明∠HFG=90°,只需得到四边形AHFG对角互补即可。
由于全等可以得到∠AHE=∠AGF,结论易得。
②当△AGQ为等腰三角形时,需要进行分类讨论。需要分3种情况,但是由于点H在线段EF上运动,且不与点E、F重合,那么只需分为两种情况讨论即可。
即类型一:当AQ=GQ时,∠AQG=90°。
还有类型二:当AG=GQ时,∠GAQ=∠GQA=75°。
【答案】(1)证明:如图1,
由旋转得:,,
,
,
,
;
(2)①证明:如图2,在等腰直角三角形中,,
,
点,分别为,的中点,
是的中位线,
,,,
,,,
,,
,
,
;
②分两种情况:
如图3,时,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
四边形是正方形,
,
,
,
当的长度为时,为等腰三角形;
如图4,当时,,
,,
,
,
当的长度为2时,为等腰三角形;
综上,当的长度为或2时,为等腰三角形.
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