陈省身：21世纪的数学
图源南开大学
今天我很荣幸能有这个机会同大家讲话。我先讲两个故事。
我们都知道欧几里得（Euclid）的《几何原本》，这是一本数学方面的论著。完成于2000多年以前。它对于人类是一个很伟大的贡献。书中包括了分析和代数，不限于几何，目的是用推理的方法得到几何的结论。
其中，第13章的内容讲的是正多面体的面数。正多面体就是这样一个多面体：它的面互相重合，同时通过一个顶点和每面的边数是相同的。正多面体在平面上的情形是正多边形。正多边形很多，有正三角形、正四边形……等等。
当时发现，到了空间，讨论正多面体就不这么简单了。空间的正多面体少得多，一共有五种正多面体：四面体、六面体、八面体、十二面体，最大的一个是正二十面体。有个朋友写了一本书，把这些漂亮的几何图形都收进去了，我这里有一份彩色的拷贝。
有些人可能会想，数学家们一天到晚没有事情可做，无中生有，搞这些多面体有什么意思？不过我跟张存浩先生讲，现在化学里的钛化合物就跟正多面体有关系。这就是说，经过2000年之后，正多面体居然会在化学里有用，有些数学家正在研究正多体和分子结构间的关系。我们也知道，生物学上的病毒（Virus）也具有正多面体的形状。这表明，当年数学家的一种“空想”，经历了这么长的时间之后，竟然是很“实用”的。
我再讲一个许多人都在讲的故事。有两个中学时代的朋友，多年未见了，一天忽然碰到。甲对乙说：“你这些年在做什么事？”乙说：“我在研究人口问题”。甲当然很想看看老朋友的工作，于是拿来乙的人口学论文一读，发现论文出现很多π。他觉得好奇怪：π是圆周率，圆周与直径之比，这怎么会和人口扯上关系？这个问题与上面的正多面体问题说明了同样的一点，即基础科学，特别是纯粹数学很难说将来会在什么时候会有用，并且起到很重要的作用。如果要求基础科学立刻就要有应用，那是太短视了。
图源：南开大学
数学家经常在家里思想问题，想出来的东西为什么会有用？我想，主要的原因就是它的基础非常简单，又十分坚固，它的结果是根据逻辑推理得出来的，所以完全可靠。逻辑推理比实验证实所获的结果要更为可靠些。数学由于它的逻辑可靠性，因而是一门有坚实根底的学问，这是数学有用的一种解释。
还有一个问题是，为什么许多不同的学科往往会用到相同的数学？这也是弄不清楚的问题。一种解释是好的数学太少。天下的高山就那么几座，天下漂亮的东西总是不太多。你到了北京，去玩漂亮的地方，无非是长城，天坛，故宫，总之是不太多。数学要讲应用，就往往归结到那几种特别好的数学，这种好数学也不多。
我的题目是讲21世纪的数学，也就是要讲中国的数学该怎么发展，如何使中国数学在21世纪占有若干方面的优势。这个办法说来很简单，就是要培养人才，找有能力的人来做数学。找到优秀的年轻人在数学上获得发展。
具体一些讲，就是要在国内办十个够世界水平的、第一流的数学研究院。中国这么大，不仅北京要有，别的地方也应该办，一般说来，也许应该办十个。至于什么叫够水平、第一流，这并没有严格的定义。我只能说南开数学所不够水平，南开要达到世界水平还需要很多的努力。中国科学的根子必须在中国。中国科学技术在本土上生根，然后才能长上去。
可是要请有能力的人来做数学很不容易。我从1984年开始组建南开数学所。开始想请有能力的人来所工作就是了。可是由于种种原因，很难做到这一点。我们办第一流的研究所就是要有第一流的数学家。有了第一流的数学家，房子破一点，设备差一点，书也找不到，研究所仍是第一流。不然的话，房子造得很漂亮，书很多，也有很贵的计算机，如果没有人来做第一流的工作，又有什么用处？我看到这种情形，就改变想法，努力训练自己的年轻人，培养自己的数学家，送他们出国学习，到世界各地，请最好的数学家给予指导。
我很高兴告诉大家，这些措施已经开始出现成效。比方说贺正需，他到美国加州大学圣地亚哥分校跟M.弗里德曼学，弗里德曼得过菲尔兹奖，是年轻的领袖人物。他亲自对我说，贺正需是他最好的学生。贺正需现在在普林斯顿。再比如，王蜀光。他是王宽诚基金会资助出国的，在选拔考试中获第一名。我介绍他到英国牛津大学，跟S.唐纳森（学习）。唐纳森是英国当代最不得了的年轻数学家。我想他大概还不到30岁，现已成为牛津大学教授。王蜀光一年前已完成了他的博士论文。
另一位王荣光（和王蜀光不是兄弟）也是王宽诚基金会资助出国的，他到美国哈佛大学跟C.Taubes读博士学位，今年也做完了论文。还有一位是张伟平，他的老师是D.别斯缪（Bismut），是法国最有名的年轻数学家，（另一位是A.Connes）。张伟平在巴黎只用两年时间完成了博士论文，现在在巴黎的Institut.desHautesEtudes做博士后。我还可以提到一些人，这里不能一一列举了。
上述四人中，张伟平已答应明年回国，回到南开来。明年张伟平如果回来的话，我希望政府能给一些方便，像这样的人才，希望能留住他。留学生能否回来，主要是国内的环境，待遇问题，对有成就的科学家要给予相应的待遇，今天我不准备谈这个问题。我只是说，世界上的人才应该是流动的，欧洲回来的人可再到美国去，当前政策比较宽松，要出国也容易。所以必须想法子留住人，有适当的政策。当然我只会处理数学，政策问题不是我所能处理的。
下面谈谈主流数学与非主流数学的问题。
大家知道，数学有很多特点。比如做数学不需要很多设备，现在有电子通讯（E-Mail），要的资料很容易拿到。做数学是个人的学问，不象别的学科，必须依赖于设备，大家争分夺秒在一些最主要的方向上工作，在主流方向作出你自己的贡献。而数学则不同。由于数学的方向很多，又是个人学问，不一定大家都集中做主流数学。我倒觉得可以鼓励人们不一定在主流数学上做。常有的情形是现在不是主流，过几年却成为主流了。
这里我想讲讲我个人的经验。1943年，我在西南联大教书，杨振宁先生在学校里做研究生。那年我应邀从昆明到普林斯顿高等研究院去，杨先生后来在那里做教授。靠近普林斯顿有一个小城叫New Brunswick，是新泽西州立大学所在地。我8月到普林斯顿不久，就在New Brunswick参加美国数学会的暑期年会。由于近，我也去听听演讲，会会朋友。
有一次我和一位美国非常有地位的数学家聊天，他问我做什么，我说微分几何，他立刻说，“It is dead（它已死了）”。这是1943年的事，但战后的情形是微分几何成了主流数学。因此，我觉得做数学的人，有可能找到现在并非主流，但很有意义、将来很有希望的方向。主流方向上集中了世界上许多优秀人物，投入了大量的经费，你抢不过他们，赶不上，不如做其它同样很有意义的工作。
我希望中国数学在某些方面能够生根，搞得特别好，具有自己的特色。这在历史上也有先例。例如：第二次世界大战以前，波兰就搞逻辑、点集拓扑。他们根据一些简单公设推出结论，成就不小。
另外如芬兰，在复变函数论上取得成功，一直到现在。例如在拟共形映照（Quasi Conformal Mapping）上的推广一直在世界上领先。因为他们做的工作，别的国家不做，他们就拥有该领域内世界上最强的人物，我还可以举出更多的例子。
我刚才提到要办十个够水平的研究院，怎样才会够水平呢？
第一，应当开一些基本的先进课程。学生来了，要给他们基本训练，就要为他们开高水平的课。所谓的基本训练有两方面。一是培养推理能力，一个学生应该知道什么是正确的推理，什么是不正确的推理。你必须保证每步都正确。不能急于得结果就马马虎虎，最后一定出毛病。二是要知道一些数学，对整个数学有个判断。从前是分析有关的学科较重要。20世纪以来是代数较时髦，群论、群表示论，后来是拓扑学等等。总之，好的研究中心应该能开这些基本课程。如不每年开，也可以两年开一次。
在我看来，中国要做到这一点是不困难的。无非是两条：一是讲授研究院的某些课程，给予奖金。二是另外也可请几个国外的人来教。请的人如果不是最活跃的，甚至请退休的人来，花费并不大，他们在国外已有退休金，请到中国来只要安排好生活，少量的旅游也就可以了。这样，数学研究院会有一个完整的课程系统。
第二，我想必须要有好的学生。我们每年派去参加国际奥林匹克数学竞赛的中学生都很不错。虽然中学里数学念得好将来不一定都研究数学，不过希望有一部分人搞数学，而且能有成就。
昨天，我和在北京的一些数学竞赛中获奖的学生见面，谈了话。我对他们说，搞数学的人将来会有大的前途，十年、二十年之后，世界上一定会缺乏数学人才。现在的年轻人不愿念数学，势必造成人才短缺。学生不想念数学也难怪。因为数学很难，又没有把握。苦读多年之后，往往离成为数学家还很远。
同时，又有许多因素在争夺数学家，例如计算机。做一个好的计算机软件，需要很高的才能，很不容易。不过它与数学相比，需要的准备知识很少。搞数学的人不知要念多少书，好象一直念不完。这样，有能力的人就转到计算机领域去了。也有一些数学博士，毕业后到股票市场做生意。例如预测股票市场的变化，写个计算机程序，以供决策。这样做，虽然还是别人的雇员，并非自己当老板，但这比大学教授的薪水高得多了。因此，数学人才的流失，是世界性的问题。
相比之下，中国的情况反而较为乐观，因为中国的人才多，流失一些还可以再培养。流失的人如真能赚钱，发财之后会回来帮助盖数学楼。总之，我们应取一个态度：中国变成一个输送数学家的工厂。出去的人希望能回来，如果不回来，建议我们仍然继续送。中国有的是人才，送出去一部分在世界上发挥影响也是值得的。
我们要做的事是花不多的钱，打好基础，开出好的课，基础搞得好了，至于出去的人回来不回来可以变得次要些。这是我的初步想法。
比方说，参加国际奥林匹克数学竞赛的人，数学都是很好的，如果他们进大学数学系，我建议立刻给奖学金。这点钱恐怕很有限，但效果很大，对别人也是一种鼓励。中国的孩子比较听家长、老师的话。孩子有数学才能，经过家长、老师一劝，他就念数学了。
对好的数学系学生来说，到国外去只是时间问题，你只要在国内把数学做好，出国很容易。国内做得很好的话，到了国外不必做研究生，可以直接当教授。中国已有条件产生第一流的数学家，大家要有信心。
培养学生我主张流动。19世纪的德国数学，当然是世界第一。德国的大学生可以到任何大学去注册。这学期在柏林听Weierstrass的课，下学期到哥廷根听Schwarz的课，随便流动。教授也可以流动，例如柏林大学已有M.普朗克、A.爱因斯坦，一个理论物理学家在柏林大学自然没有发展的希望，就不妨到别的学校去创业。我希望中国的学生、教授都能流动。教授可以到别的学校去教课，教上半年。各个数学研究院的教授也能互相交换。
我想再稍微讲点数学。刚才说过，选择数学研究方向并不一定要跟主流，可以选自己特别喜欢的那些分支。不过，一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的或不大好的数学。有些数学是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了。所以选择好的数学研究方向是很要紧的。
让我举例来谈谈。大家是否知道有个拿破仑定理？这个定理也许和拿破仑并没有关系，却也蛮有意思。定理是说任给一个三角形，各边上各作等边三角形，然后将这三个等边三角形的重心联起来，又是一个等边三角形。各边上的等边三角形也可朝里面做，得到两个解，等等，这个数学就不是好的数学。因为它难有进一步的发展。当然，如果你感到累了，愿意想想这些问题，也蛮有意思，这好象一种游戏。那么什么是好的数学？比方说解方程就是。搞数学都要解方程。
一次方程易解。二次方程就不同。x^2-1=0有实数解。x^2+1=0就没有实数解。后来就加进复数，讨论方程的复数解。大家知道的代数基本定理就是n次代数方程必有复数解。这一问题有长的历史。
当年的有名数学家欧拉（1707-1783）就考虑过这个问题。欧拉名望很高，但当时没有教授的职位，生活上也很困难。那时的德国皇帝认为皇宫中一定要有世界上最好的数学家。所以就把欧拉请去了。欧拉就曾研究过代数基本定理，结果一直没有证出来。
后来还是高斯（1771-1855）发现了复数与拓扑有关系，有了新的理解。因为模等于1的复数表示一个圆周，在这圆周上就会有很多花样。第一个会证明代数基本定理的是高斯，而且给了不止一个证明。
如果从解f(x)=0到f(x,y)=0，那就进到研究曲线，当然也可能没有解，一个零点也没有。于是花样就来了，假使你在f(x,y)=0中把x,y都理解为复数，则两个复数相当于四维实空间，这就很麻烦，出现了复变函数论中的黎曼曲面。你要有黎曼曲面来表示这个函数，求解原来的方程f(x,y)=0，那就要用很多的数学知识。其中最要紧的概念是亏格（Genus）g。你把f(x,y)=0的解看成曲面之后，那么曲面有多少个圈，球面、环面等等的花样就很多，都和g有关。
此外，你也可以有另外的花样。比如假定f(x,y)=0的系数都是整数，你也可以讨论这一方程的整数解，这个问题就很难了。直到前几年才发现这一方程是否有整数解和亏格g有密切关系。当g=0时，有无穷多个整数解。g=1则有些特别的性质。当g>1时，德国的伐尔廷斯（Faltings）在1984-1985年间证明了f(x,y)=0的整数解至多为有限个。这一结果和费马定理有关。那是说x^n+y^n=z^n（n>=3）没有正整数解。这还没有解决费马问题，但是前进了一大步。
确实，数学可以引导出很深的观念。数学中我愿把数论看作应用数学。数论就是把数学应用于整数性质的研究。我想数学中有两个很重要的数学部门，一个是数论，另一个是理论物理。理论物理也是用很多数学的部门。
在这一小时里我无法讲很多的数学。我还想讲一点，比方说最近一个时期最热闹的数学是什么，即当前的主流数学，刚才我说过我并不喜欢大家都去搞主流数学，不过主流数学毕竟是重要的。
所谓主流数学，是指一个伟大的数学贡献，深刻的定理，含义很广证明也很不简单。如果在当前选一个这样的贡献，我想那就是Atiyah-Singer指数定理。
Atiyah是英国皇家学会会长。上个月他来北京，还作过报告。这个指数定理可看成是上面所谈问题的近代发展，即将代数方程、黎曼曲面、亏格理论等等从低维推广到高维和无穷维。
因此，我觉得数学研究不但是很深很难很强，而且做到一定的地步仍然维持一个整体，到现在为止，数学没有分裂为好几块，依旧是完整的。尽管现代数学的研究范围在不断扩大，有些观念看来比较次要，慢慢就被丢掉了，但基本的观念始终在维持着。
我想今天就这样结束，谢谢大家。
注：本文是1992年5月31日陈省身先生在“纪念国家自然科学基金十周年学术报告会”上的讲话，根据录音整理。原载《中国数学会通讯》1992年6月。