五年级:美妙数学之'格点图形面积计算——三角形格点'(0818五)

美妙数学天天见,每天进步一点点。

亲爱的同学们,你们好,我是朱乐平工作室的老师,今天要和你们分享的内容是《格点图形面积计算——三角形格点》,我们一起来研究其中的学问吧!

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数学领域中有一类问题叫做“格点图形面积计算”问题。昨天,我们一起探索研究了正方形格点多边形的面积计算。我们知道了

正方形格点多边形面积=一周格点数÷2+中间格点数-1

今天我们主要研究三角形格点多边形面积如何计算。首先我们一起来看一看。

时长

07:16

三角形格点

下面的多边形都是以三角形格点为顶点的多边形。(每相邻三个点都是正三角形,其面积为1)

1、中间格点数,一周格点数与面积有什么关系?

答案:

2、计算下列各点多边形面积。(每相邻三个点都是正三角形,其面积是1)

答案:

(1)   S=8 × 2+3-2=17

(2)   S=16 × 2+6-2=36

(3)   S=12× 2+8-2=30

你知道吗?

什么是皮克定理?

1899年,犹太数学家皮克(Georg Alexander Pick)发现了一个被誉为“有史以来最重要的100个数学定理之一”的“皮克定理”(Pick's Theorem)。这个定理是这样说的:给定顶点座标均是整点(或正方形格子点)的简单多边形,其面积𝑨和内部格点数目𝑰、边界格点数目𝑩的关系为𝑨=𝑰+𝑩/𝟐−𝟏。

根据皮克定理,我们可以得到:

我们可以通过间接计算的方法验证这个结果:

S=S长方形-(S1+S2+S3+S4+S5)=12×8-(1×4÷2+6×4÷2+6×2÷2+6×4÷2+7×3÷2)=96-(2+12+6+12+10.5)=96-42.5=53.5。

哇,最终的结果正如皮克定理所说的那样,面积的计算居然可以通过数点数来得到,真的很神奇有木有?

Pick于1859年出生在奥地利的首都维也纳,1943年死于特莱西恩施塔特集中营。我们在欣赏这样美妙的定理之时,不禁要缅怀一下这位伟大而不幸的数学家。

小结:

一个好的数学结果,除了定理本身漂亮之外,更要紧的是它要具有推广的潜力,能在许多相关结果中占有枢纽的地位。皮克定理就具有这样的推广潜力。

皮克定理有许多方向的推广。例如:它可以推广到更一般的多边形,边可以交叉,中间可以挖掉多边形;也可以推广到不同形式的格子点,如正六边形格子点;更可推广到三维空间的多面体之情形。

其实在我看来,我们学习的重心不在于皮克定理是什么,而是在于如何去发现、探索、猜想并证明一个定理,这才是学数学要学的重要方面,公式本身并不能说明什么问题,但背后的原理和证明过程往往很精彩。希望每一个学数学孩子都不要只顾着解题与技巧,而忽略了数学公式背后那些精彩而又美丽的探索与发现过程。

美妙数学天天见,每天进步一点点。亲爱的同学,今天的话题我们就讲到这里,咱们明天再见!

图文、视频:王珍珍

审核:陆昌波

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