第28讲 典型例题与练习参考解答：定积分的换元法与分部积分法
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第28讲：定积分的换元法与分部积分法
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：求.
练习2：设 在 处连续可导，且 , ，求极限
练习6：求下列积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) .
练习7：求下列积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中 ；
(4) ，其中 为正整数.
练习8：设函数 在 上严格递增且可导， , 为 的反函数，证明：
求.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：求.
【参考解答】：令 ，则
代入原式，得
练习2：设 在 处连续可导，且 , ，求极限
【参考解答】：令，则
代入极限式并由洛必达法则，得
练习3：设 在的邻域内连续，且 ，求极限
【参考解答】：令，则
于是由等价无穷小和洛必达法则，得
练习4：设函数 连续，证明
【参考解答】：(1) 令 ，则由定积分换元法，得
【注】：特别，取 （ 为正整数），则有
由积分变量符号描述的无关性，移项即得结论成立.
练习5：设函数 在 上连续,证明
【参考解答】：令，因为在上连续，所以在连续，于是由定积分的换元法，得
练习6：求下列积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) .
【参考解答】：(1) 【思路一】 由微积分基本公式，得
(2) 【思路一】 令 ，则
【思路二】 直接由定积分的几何意义，该积分表示第一象限半径为 的四分之一圆的面积，故直接得
(3) 令 ，则
代入积分式整理得
(4)【思路一】 算积原函数的不定积分，得
故由微积分基本公式，得
【思路二】 令，则 ，代入积分式，整理得
(5) 令 ，则
当 时， ；当 时， ，于是
(6) 令 ，则
将该结果与需要计算的积分相加，得
从而可得
【注】：在对称区间上取负代换或者分割积分区间后取负代换，变换一半区间上的积分，来达到转换积分模型完成计算积分是求定积分的一种常用技巧.
(7) 由结论
并且，故直接可得
(8) 由结论
取 , ，直接得
对于第一个积分，有
代入即得
练习7：求下列积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中 ；
(4) ，其中 为正整数.
【参考解答】：(1) 由定积分的分部积分法，得
(2) 由定积分的分部积分法，得
(3) 将 代入定积分表达式，得
于是由分部积分法和定积分积分变量符号描述的无关性，得
(4) 当 时，由定积分的分部积分法，得
即有递推式
当, 时，有
于是，当为奇数时，有
类似可推得，当为偶数时，有
最终整理可得
其中为的双阶乘. 当为奇数时，它是从到的所有奇数相乘；当是偶数时，它是从到的所有偶数相乘.
【注】：该公式称为华莱士（Wallis）公式，可以直接应用该公式计算积分结果.
练习8：设函数 在 上严格递增且可导， , 为 的反函数，证明：
【参考证明】：令 ，则
练习9：设 有三阶连续导数，证明：
【参考证明】：直接由分部积分法，得
整理即得所证等式成立.
练习10：设在 上连续，且
求.
【参考解答】：由定积分的分部积分法和题设直接得
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