初中数学思维点拨：《三角形章节复习》

人教版八年级上册第11章《三角形》是初中阶段几何中比较重要的一章书

首先是理清知识网络：

知识梳理

1. 三角形的三边关系：

三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

2. 三角形的分类

3. 三角形的高、中线与角平分线

中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），

角平分线：三条角平分线相交于一点

4. 三角形的内角和与外角

(1)三角形的内角和等于180°；

(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

5. 多边形及其内角和

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.

n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.

n边形的外角和等于360°.

正多边形的每个内角的度数是

正多边形的每个外角的度数是

考点解析：

一.三角形的三边关系

【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？

解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得

8-3<a<8+3,

∴ 5 <a<11.

又∵第三边长为奇数,

∴ 第三条边长为 7cm或9cm.

【点睛】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.

迁移应用

1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是 （ ）

2.下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　）

A.a+1，a+2，a+3（a＞0） B.3a，5a，2a+1（a＞0）

C.三条线段之比为1：2：3 D.5cm，6cm，10cm .

3.三角形的三边长分别为3，5，x，化简式子|x-2|+|x-9|=_______

解：根据三角形的三边关系，得

5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8，

则|x-2|+|x-9|=x-2-x+9=7．

【例2】等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.

解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，

∴分两种情况讨论：

当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；

当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.

综上所述，另两边长为5,5或6,4.

【点睛】等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形.

二.三角形中的重要线段

【例3】如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．

解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，

∴AD=BD，

∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，

∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，

∴BC-AC=3，

∵BC=8，

∴AC=5．

三、有关三角形内、外角的计算

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数

解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x．

因为∠BAC=63°，

所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，

所以x=39°,

所以∠3=∠4=78°，

∠DAC=180°-∠3-∠4

【点睛】若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解.

【例4】已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．

解：设这个多边形的边数是n，

依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，

（n-2）=6-1，

解得n=7．

∴这个多边形的边数是7．

本章中的思想方法：

方程思想

如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数

分类讨论思想

已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是 （ ）

【点睛】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.

化归思想

如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.

如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.

解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,

所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540 °