哥德尔,有史以来最伟大的逻辑学家之一,其不完备性定理是如何统治数学的?
数学系统是由一些基本元素(如数字)、一些与这些元素相关的运算(加、减等)以及一些公理组成的集合。例如,一些关于元素和运算的陈述,我们无需证明就假设为真(例如,等号在算术上是对称的:如果x=y,那么y=x)。 如果我们能够证明一个数学系统中的每一个真实的陈述,我们就说这个数学系统是完备的(完全性的)。 最后,如果我们不能证明一个已经被证明的命题的反面,那么这个数学系统就是一致的。例如,如果我们已经证明了两个奇数之和总是偶数,我们就不应该再证明它不是偶数。对于一个数学系统来说,一致性是至关重要的。如果它不一致,那么它就会不断地自相矛盾(因为每条真语句同时也假语句),它对我们没有任何用处。
每一个强大到足以描述计算的数学系统不是不完备的就是不一致的。
一个一致的数学系统不能证明它自己的一致性。
哥德尔不完备性定理对物理学中的 "万物理论 "造成威胁
数学上的柏拉图主义和理性主义
柏拉图和亚里士多德的哲学——"雅典学派"
笛卡尔、斯宾诺莎和莱布尼茨——理性主义之父
哥德尔的哲学清单
世界是理性的。 原则上,人类的理性可以得到更高的发展(通过某些技术)。 有系统的方法来解决所有问题(还有艺术等)。 还有其他的世界和更高层次的理性存在。 我们生活的世界并不是我们将生活或已经生活的唯一世界。 先验可知的东西比目前已知的要多得多,这是无可比拟的。 文艺复兴以来人类思想的发展是完全可以理解的。 人类的理性将向各个方向发展。 形式上的权利构成了真正的科学。 此处不可见。 高等生物是通过类比而不是通过组合与其他生物相联系的。 思想有一个客观存在。 有一种科学的(精确的)哲学和神学,它涉及最高抽象性的概念;这对科学来说也是最有成果的。 此处不可见。
所有问题的解决都有系统的方法(还有艺术等)
还有其他的世界和更高层次的理性存在
哥德尔认为,数学对象,如数字,存在于另一个形而上的境界中
我们生活的世界并不是我们将生活或已经生活的唯一世界
高等生物是通过类比而不是通过组合与其他生物相联系的
结论
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