面积计算（13）

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我们学习新的知识，要注意和老的知识的联系，更要注意和老的知识点的区别。

四边形面积问题的研究，我们可以利用化归的思想把四边形分解成两个或者更多的三角形来考虑，这是和老知识的联系；更要学会从面积公式出发来探究如何找到缺少的条件，这是和老知识的区别。

作为初学者，很容易学新的忘旧的，这是正常现象。但是有的学生就能温故而知新，有的就放任自流。一个两个知识点你确实看不出来什么，但是长此以往的话，差距就会非常大。

例1 如图所示，中小两个正方形把大正方形分成了三个部分，外层环形面积为104，内层环形面积为72，如果三个正方形的边长成等差数列，求大正方形面积？

我们当然先看最简单的正方形的面积。为什么正方形面积是最简单的？回忆一下梯形、矩形、平行四边形的面积公式，我们发现这三种图形的面积至少需要两个条件才能决定，但是正方形的面积呢？一条边长就够了。

所以我们很自然的想法是求正方形的边长。根据贼老师一贯提倡的做法，我们看看手上有什么条件呢？

外层环形面积是哪里来的？大正方形面积减去中正方形面积；内层环形面积呢？中正方形面积减去小正方形面积。

换句话说，我们有的都是面积差，但是却不知道一块具体的面积，所以我们无法直接求出三个正方形中任意一块的面积。

当然有家长会说，设两个未知数不就好了？注意，我们现在是在小学范围内探讨，因此这个属于不能用的工具。

怎么办？

只能转弯。我们将大正方形和中正方形做一些切割：我们发现：大正方形比中正方形多了四个角以及四个大矩形；中正方形比小正方形多了四个角以及另外四个小矩形。而分别多出来的这个八个角是面积相等的小小正方形。

除此以外，还有什么发现？

每个大矩形比小矩形恰好多了两块小正方形！我们再多加几条辅助线，就可以看清楚，外环比内环恰好多了八块小正方形！而这八块小正方形的面积恰好是104-72=32，所以每块小正方形面积为4，也就是说，每块小正方形面积的边长为2.

但是我们似乎仍然没有办法求的大中小三个正方形中任何一个的边长，怎么办？

再回头看我们现在有的那些结论和条件。内环的面积是72，外环的面积104，每个小正方形面积是4，这是我们现在所有的工具了。我们刚才把每个环都切割成了四个小正方形以及若干矩形，等等！

每个环的面积是知道的，而且四个角上的小正方形面积也是知道的，所以每个矩形的面积不也就知道了嘛？对于大环来说，切割出来的四个矩形的面积为（104-4×4）÷4=22，而矩形的宽恰好就是小正方形的边长2，所以矩形的边长为11，于是大正方形的边长就是11+2×2=15.

我们再重复一次解题的路径：通过题目的条件，我们发现无法直接得到边长，于是开始切割。作为正方形的切割，肯定走的是笔管条直的路线，歪七扭八的那种不符合正方形的审美特点。通过切割我们得到了四个角上的小正方形的面积和边长，但是仍然没有办法直接得到大正方形的面积，于是我们进一步分析那几个矩形的面积，终于得到最后的结果。

做题，就要做好吃瘪的准备。

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