平面几何中如何快速地添加辅助线

之前我也写过文章，讲为什么有很多的孩子平时测验或者作业都做的不错，但是一到综合性的考试就抓瞎，排除掉抄作业和作弊的因素以外，最大的可能就是依赖于所在章节的标题——这本身也是一种解题的线索。

比如本章节叫直角三角形斜边上的中线，课后练习或者单元测验的时候，题目中并没有给出斜边上的中线，这时候最自然的辅助线必定是作出某个直角三角形斜边上的中线，否则的话不是题不对文么？

但是到了期末考试或者中高考，这种提示就没有了。哪怕明面上是个直角三角形，但是可能用勾股定理，可能用全等，可能用斜边的中线，射影定理四点共圆，这个时候想再找辅助线看起来就不那么容易。

我们结合一个具体的例子来讲破解之法。

例：已知平行四边形ABCD对角线上有点E，连接AE、CE，且AE=CE，BE≠DE求证：ABCD是菱形。

一拿到这个题目，90%以上的人都会想着要全等去做，这是很自然的一条思路。这两有两组很明显的全等三角形：△ABE和△CBE，△ADE和△CDE，不难发现，这两组全等的证明是等价的，换句话说，你证明哪组全等的难度是一样的。

如果结合最后的结论，即AB=BC，那么我们发现一定不能用SSS作为判断条件，只能选择SAS作为判别条件，所以这时候命题就转化成了证明∠AEB和∠CEB相等了。

题目做到这里，应该要回头了。

为什么呢？

因为条件不够用了。

在平行四边形里，一般只有内错角相等（同位角往往要把某条边延长才有，同旁内角考虑互补），而要证明的结论你根本没办法绕到内错角上去。

怎么办？

别忘了我们的辅助线基本法：取中作平连对角延一倍。

取中，不合适，图中一个中点都没有，这一手无理。

作平？

在平行四边形中作平行线当然是非常合适的事情了。

问题来了，作谁的平？

平行四边形的四条边和对角线不应该被作为考虑的对象，为什么？因为性质不够好。我们作辅助线的很重要的原则就是尽可能把那些好的性质集中在尽量少的点上。

本题中，性质比较特殊的条件显然应该是AE=CE，所以我们首先需要考虑的是作AE或者CE的平行线是比较合理的。

贼老师，做错了怎么办？

做错了就做错了呗，有什么大不了的？谁规定数学题必须一步到位的？

接下来的问题是过哪个点作AE的平行线呢？

D，C，B？

D是好点。

为什么呢？因为如果我们作DF平行且等于AE后，可以得到两个平行四边形：ADFE和EFBC，并且△DFC肉眼可见的和△AEB是全等的。如果你一开始挑了其他两个点，那么是得不到这么多丰富的结论的。

这时候我们注意到，由于CFEB是平行四边形（易证），则CF∥DE，而CE=AE=DF，所以CFDE是一个等腰梯形，我们得到EF=CD，而EF=BC，于是我们完成了证明。

很多时候，指导者只是把辅助线直接甩给学生，虽然整个证明过程学生都能听得懂，但是最关键的辅助线怎么来的这步很多学生听完了仍然是云里雾里。不要总是把辅助线当做灵光一闪的玩意儿，掌握好常见的加辅助线的方法，结合恰当的逻辑顺序，这样学生添加辅助线的能力才会不断提高。