最优传输几何观点的口诀
时间：2021年10月25号到11月18号，北京时间每周一、周四傍晚20:30-21:30 PM链接：腾讯会议：458 1599 0657B站：http://online.conformalgeometry.org （会自动跳转B站直播）参加：对所有听众免费开放参考书籍：《最优传输理论和计算》雷娜、顾险峰著，高等教育出版社 2021。预备知识：线性代数、多元微积分、最好能够用C++、OpenCV和OpenGL进行编程讲座课件 ：课程的中文演讲稿将在网上发布；开源代码 ：欧氏平面的最优传输映射代码和测试数据https://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/software/OT/index.html球面的最优传输映射代码和测试数据https://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/software/SOT/index.html线上演示、图像、视频，可以通过扫描《最优传输理论和算法》中相应页面的二维码，直接在手机上观看。作业：讲座系列会提供基本程序库，学生们可以动手添加修改实现最优传输映射等基本算法，并且有专职的助教提供答疑帮助。最优传输理论博大精深，到处充满了概率论、拓扑、泛函分析、偏微分方程理论的专业术语，经常提及“几乎处处”、“弱收敛”、“微分形式”、“de Rham上同调”、“不动点”、“等度连续”、“正则性”、“磨光算子”、“先验估计”、”蒙日-安培算子线性化”，对于缺乏基础数学背景的同学而言犹如天书一般，难以沟通交流。但是一旦学通之后，其精神实质又都非常简单自然。我们一直希望能够找到某种教学方法，将阳春白雪的理论，用下里巴人的方式来表达，简明扼要，一针见血。同时将晦涩庞杂的文献，加以浓缩提炼，将其思想精髓用浅显直白的语言来传播，使得天堑变通途。第二个作者开始学习最优传输理论的时候，丘成桐先生用凸微分几何的观点与蒙日-安培方程带来笔者登堂入室，体会到理论的和谐优美和算法的强大实效。后来我们遇到很多著名的数学家，他们热心传授对偶观点、正则性理论和球面最优传输理论，使得我们有了更深的领悟。我们深信：这些美丽的思想，都是人类思想的精华，值得每一个年轻人去思考欣赏，融入到知识结构之中，潜移默化到气质里。我们回想起小时候的启蒙阶段，老师都是教给大家各种口诀，容易记忆，朗朗上口。虽然开始无法彻底理解，但是依随心智成长，对于口诀的参悟逐渐加深，慢慢掌握了精髓。我们不揣冒昧，将教学和科研中的心得体会，总结成顶真口诀：最优传输几何观点口诀代价变换支撑支撑包络势能势能微分映射映射对偶凸形虽然行文并不工整，但是每个词都其来有自，对应着最优传输理论的专业术语，每句话都蕴含着某个关键定理。如果一位同学能够参透这个口诀，那么他（她）就可以完全理解最优传输理论的几何观点，并且能够独立设计新颖算法。最优传输理论的一个最大优点（也是最大难点）在于它可以从连续可微情形自然过渡到离散间断情形，从而其数学思想与算法设计可以无缝连接。最优传输理论的另外一个优点在于它的适用范围极其广泛，同样的思想可以应用于完全不同的领域，超乎人们的想象。我们试举几个应用实例，图形学中的保面积参数化微分几何中的Minkowski问题：由高斯曲率来恢复凸曲面形状光学领域的反射镜曲面设计问题折射镜面设计问题用以解释上面的口诀。如果同学们参透这几个例子，最好能够亲自编程实践，那么就完美地完成了这个系列讲座。我们回顾一下经典的Monge-Kantorovich理论，将对应口诀中的专用名词用黑体标出。设和是紧致度量空间，测度定义在上，定义在上，例如有界或者连续，并且总质量相等。给定传输代价函数，具有一定的正则性。一个映射被称为是保测度的，如果对一切Borel集，记为。Monge提出最优传输映射问题：如何寻找保测度映射，极小化总传输代价：
Kantorovich将Monge问题推广，并且提出了对偶问题：
这里连续函数被称为是Kantorovich势能函数，满足条件,c-变换的概念具有重要的意义：
c-变换也叫广义Legendre对偶。最优的势能函数有以下关系：势能函数的c-次微分定义成
最优传输方案可以表示成：
如果代价函数可微，存在最优传输映射，则满足我们看到口诀中的关键词大都已经定义了，下面我们用实例来进一步解释口诀的含义。后面我们能够看到，这里每一个数学符号、数学概念都有鲜明的物理意义，例如我们可以将最优传输映射诠释成几何中的Gauss映射，或者光学中的反射、折射定律。数学与物理如此完美的结合，的确令人赏心悦目。“代价变换支撑”是说传输代价函数定义了支撑曲面，固定,支撑曲面的方程为。如果传输代价函数变化了，则支撑曲面也会相应变化。例如，我们后面会看到，不同的最优传输问题中支撑曲面可以是平面、旋转抛物面、椭球曲面和双叶双曲面，
图1. 支撑包络势能，势能微分映射。“支撑包络势能”是指当变化时，我们得到一族支撑曲面，这个支撑曲面族的包络就得到了Kantorovich势能函数，
. 例如平面族的上包络得到了凸势能函数；旋转抛物面的内包络得到了反射镜曲面；椭球曲面族的内包络得到了折射透镜曲面。'势能微分映射'是指Kantorovich势能函数的c-次微分就给出了最优传输方案。例如在保面积参数化中，最优传输映射由势能函数的梯度映射给出；Minkowski问题中，最优传输映射就是Gauss映射等。“映射对偶凸形”，这句话是说最优传输映射的逆映射也是最优传输映射，它的势能函数是，是的c-次微分映射。的每个支撑曲面对偶成一个点，是这些对偶点的凸壳。和互为c-变换，也被成为是广义Legendre对偶，同为c-凹函数。如果将和互换，整个图景完全对称。保面积参数化
图2. 基于最优传输映射的保面积参数化。我们将曲面通过黎曼映照映射到平面圆盘上，将曲面的面元推前到上，得到圆盘上的测度，定义为，归一化后。我们将定义为目标测度。源区域也是圆盘，源测度是标准Lebesgue测度，。在这里，我们可以在中稠密采样，得到样本点，同时将离散化，
保面积参数化等价于最优传输映射。“代价变换支撑”：我们定义传输代价为欧氏距离的平方，等价地代价为。我们的支撑曲面为平面，固定，平面方程为
，每一个都对应一个支撑平面。“支撑包络势能”：支撑平面族的上包络得到Brenier势能函数
这里势能函数是平面族的上包络，因此是分片线性的，的图是一个凸多面体。的图投影到平面，得到平面的胞腔分解 (Power digram)，每个胞腔是一个面的投影,势能函数限制在胞腔上的次微分（广义梯度）等于，
“势能微分映射”：Brenier势能的次微分给出了最优传输映射，胞腔映到了梯度,这里的最优传输映射是凸函数的梯度映射。“映射对偶凸形”：最优传输映射的逆映射(点到集合的广义映射)为，的势能函数为，等于的次微分映射。是的c-变换，也被成为是的Legendre对偶. 的每一个支撑平面都对偶一个点，的图等于所有对偶点的凸包（Convex hull）.图左上为势能函数，支撑平面的上包络；右上为对偶势能函数，对偶点的凸包；左下到右下显示了次微分（梯度）映射，即最优传输映射。如果左右颠倒，整个图景完全对称。Minkowski问题
图3. Minkowski问题，通过Gauss曲率决定曲面形状。考虑一个凸曲面，具有极坐标表示， . Gauss映射，将曲面上一点映到曲面在该点的法向量，复合映射为。球面上具有标准Hausdorff测度（标准的球面面元）。定义了拉回测度，源测度定义为。令，最优传输映射, ，Kantorovich势能等于极径函数的对数，。“代价变换支撑”：这里我们定义传输代价函数，, 如此定义了支撑曲面为平面，法向量为，到原点的距离为, 平面的极坐标表示为（固定）“支撑包络势能”：支撑平面族的内包络定义了凸曲面，极坐标表示为，Kantorovich势能等于的对数，，等价地
'势能微分映射'：凸曲面在点处的支撑平面为，那么曲面在该点的法向量与支撑平面的法向量重合,都等于. 这就是说在点的次微分等于，那么最优传输映射，即最优传输映射等于的Gauss映射。同理，也是最优传输映射，等于凸曲面的Gauss映射。“映射对偶凸形”：凸曲面的支撑平面为，其对偶点为，那么凸曲面等于所有对偶点的凸包。凸曲面和互为广义Legendre对偶。就是我们欲求的Minkowski问题的解。反射镜面设计问题
图4. 反射镜曲面设计问题。我们在原点放置一个点光源，在无穷远处放置一个屏幕，屏幕上预先定义一幅图像（即给定目标光强分布），我们希望设计一张反射曲面，将光源发出的光线反射到屏幕上，得到预定的图像。
图5. 基于最优传输方法设计的反射镜。我们定义光源射出的方向为，所有射出光线方向的集合为，光强分布为；反射光线的方向定义为，所有反射光线方向的集合为，光强分布为。根据能量守恒，我们有。相比于用投影仪的方法，这种方法完全将光源的光能转换成屏幕上的光能，传输过程中没有转成热能，没有任何浪费。
图6. 左帧，目标光强分布；右帧，光线追踪法仿真图4中镜面反射的效果。“代价变换支撑”：我们定义传输代价函数为，，如此定义了支撑曲面为旋转抛物面，其旋转轴方向为，焦点在原点。任何从焦点发出的光线，经过抛物面反射后，反射方向与旋转轴平行。的极坐标表示为（固定）“支撑包络势能”：支撑旋转抛物面族的内包络就得到反射镜曲面，这里，是Kantorovich势能函数。内包络等价于等价地
“势能微分映射”：最优传输映射就是光线反射，从原点出发的光线沿着方向，击中反射曲面于点，在该点处有唯一的支撑抛物面与相切，那么光线的反射方向为，即。这里的次微分理解成与曲面相切的旋转抛物面的旋转轴向。“映射对偶凸形”：因为光路可逆，我们可以颠倒入射和出射光的方向，从而得到逆映射， 逆映射也是最优传输映射，对应的Kantorovich势能函数为，反射镜曲面为， 。整个理论图景完全对称。更进一步，与广义Legendre对偶，的计算归结为维欧氏空间中的凸包。下图是我们为蒙日先生设计的反射镜曲面。
图7. 致敬最优传输理论的奠基者：蒙日（Monge）先生，以其画像为目标分布而设计反射镜面和仿真效果。折射透镜设计问题
图8. 折射透镜设计问题。我们在原点放置一个点光源，在无穷远处放置一个屏幕，屏幕上预先定义一幅图像（即给定目标光强分布），我们希望设计一张折射透镜曲面，将光源发出的光线折射到屏幕上，得到预定的图像。
图9. 基于最优传输设计出的折射透镜曲面和仿真效果。我们定义光源射出的方向为，所有射出光线方向的集合为，光强分布为；折射光线的方向定义为，所有折射光线方向的集合为，光强分布为。根据能量守恒，我们有。透镜曲面将空间分成透镜内部介质I和透镜外部介质II，分别具有折射率和，定义常数。光的传播满足Snell折射定律, ，这里和分别是入射角和出射角。“代价变换支撑”：当时，我们定义传输代价函数为 这时对应的支撑曲面为旋转椭球面，一个焦点在原点，旋转轴向为，这时从焦点出发的光线经过折射后，折射方向平行样旋转轴。旋转椭球面的极坐标表示为(固定, 带有物理约束)
“支撑包络势能”：支撑椭球面族的内包络就得到折射镜曲面，这里，是Kantorovich势能函数。内包络等价于等价地
“势能微分映射”：最优传输映射就是光线折射，从原点出发的光线沿着方向，击中折射镜曲面于点，在该点处有唯一的支撑椭球面与相切，那么光线的折射方向为，即。这里的次微分理解成与曲面相切的旋转椭球面的旋转轴向。“映射对偶凸形”：因为光路可逆，我们可以颠倒入射和出射光的方向，从而得到逆映射， 逆映射也是最优传输映射，对应的Kantorovich势能函数为，折射镜曲面为， 。整个理论图景完全对称。更进一步，与广义Legendre对偶，的计算归结为维欧氏空间中的凸包。如果，则传输代价为支撑曲面为双叶旋转双曲面的一叶（固定， 由物理约束）
其他的几何图景类似。小结我们将最优传输理论的几何观点总结成顶真口诀，方便大家记忆和应用。最优传输几何观点口诀代价变换支撑支撑包络势能势能微分映射映射对偶凸形希望广大同学能够透彻熟练背诵，透彻理解，并且能够举一反三，灵活应用到自己的研究领域。如果您发现了新的用途，请告知笔者们。另外，虽然我们目前可以设计出各种反射镜曲面和折射透镜曲面，但是我们无法将其制造出来。如果读者有条件制作这种光学设计器件，请和笔者们联系。大家讲座见！请长按下方二维码，选择 “识别图中二维码”，即可关注。【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。