模型 | ＇一线三等角模型＇引发的思考（优选）

【导入】“一线三直角”（K字型）

通过动图看解析：

如果直线MN绕着点C旋转一周（0°＜α＜360°），我们可以得到以下六种情况：

【重点】“一线三等角”模型

原题再现：

在解题过程中挖掘出基本图形或通过做辅助线构造出模型，隐藏多余的线条，达到化繁到简的转变。

[提炼分类一]基本模型:分为全等和相似两类，

下图以锐角60°，直角90°，钝角120°为例；

全等时△ABC分别为：等边三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；

△ABE与△CAD全等

一线三等角：两个等角的一边在同一条直线上，若有第三个与之相等的角，它的顶点也在该直线上，角的两边分别与两等角的非共线边相交，可得一组相似三角形

△ABE与△CAD相似

 [提炼分类二]还可分为同侧或者异侧，

下面以全等情况为例，△ABD≌△CAE，

展示异侧以锐角60°，直角90°，钝角120°为例的图形。

【解析】以正方形为例进行探究

方法一：截长补短，证明全等

方法二：“一线三直角”，转化三角形的对应边相等，再套入模型

方法三：勾股定理推出AM与EN的关系，再套入模型

方法四：辅助圆，证明等腰直角三角形

方法五：建立平面直角坐标系，借助“斜率负倒数”

方法六：折叠-对称的角度1

方法七：折叠-对称的角度2

方法八：旋转的角度，点A为旋转中心1

方法九：旋转的角度，点A为旋转中心2

方法十：旋转的角度，点M为旋转中心

方法十一和十二：旋转的角度，点D为旋转中心

方法十三和十四：旋转的角度，点B为旋转中心

方法十五和十六：旋转的角度，点M为旋转中心

通过上述方法的探究，我们不难发现，借助平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及函数思想，'一线三等角'模型你学会了吗？

【课后练习】这道例题也是八年级我们常见的证明题。

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