模型 | '一线三等角模型'引发的思考(优选)


【导入】“一线三直角”(K字型)

通过动图看解析:

如果直线MN绕着点C旋转一周(0°<α<360°),我们可以得到以下六种情况:

【重点】“一线三等角”模型

原题再现:

在解题过程中挖掘出基本图形或通过做辅助线构造出模型,隐藏多余的线条,达到化繁到简的转变。

[提炼分类一]基本模型:分为全等和相似两类,

下图以锐角60°,直角90°,钝角120°为例;

全等时△ABC分别为:等边三角形,等腰直角三角形,等腰三角形;

△ABE与△CAD全等

一线三等角:两个等角的一边在同一条直线上,若有第三个与之相等的角,它的顶点也在该直线上,角的两边分别与两等角的非共线边相交,可得一组相似三角形

△ABE与△CAD相似

 [提炼分类二]还可分为同侧或者异侧,

下面以全等情况为例,△ABD≌△CAE,

展示异侧以锐角60°,直角90°,钝角120°为例的图形。

【解析】以正方形为例进行探究

方法一:截长补短,证明全等

方法二:“一线三直角”,转化三角形的对应边相等,再套入模型

方法三:勾股定理推出AM与EN的关系,再套入模型

方法四:辅助圆,证明等腰直角三角形

方法五:建立平面直角坐标系,借助“斜率负倒数”

方法六:折叠-对称的角度1

方法七:折叠-对称的角度2

方法八:旋转的角度,点A为旋转中心1

方法九:旋转的角度,点A为旋转中心2

方法十:旋转的角度,点M为旋转中心

方法十一和十二:旋转的角度,点D为旋转中心

方法十三和十四:旋转的角度,点B为旋转中心

方法十五和十六:旋转的角度,点M为旋转中心

通过上述方法的探究,我们不难发现,借助平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及函数思想,'一线三等角'模型你学会了吗?

【课后练习】这道例题也是八年级我们常见的证明题。

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