切割线定理及其应用之二

今天继续研究切割线定理及母子型相似的应用。

例8、曼海姆(Mannheim)定理：如图，圆O’内切圆O于D，A为大圆O上任一点，AB、AC为圆O的弦，分别切圆O’于E、F，EF交AO’于I，求证：I为△ABC内心。

思路分析：我们努力挖掘切点的性质，两圆相切作出公共弦势在必行，然后不难证明DE为∠ADB角平分线，再发现OD^2=OI*OA,然后发现BEID和CFID共圆。后面即可倒角得到∠ABC=2∠ABI即可。

证明：

设DK为两圆公切线，

则∠CFD=∠FDK=∠ABD,

又∠BED=∠EFD,

则∠ADF=∠CDF,

同理∠ADE=∠BDE.

由O'D^2=O'F^2=O'I*O'A,

由切割线定理得∠O'ID=∠O'DA,

故∠FID=∠ADK=∠DBA,

故EBDI共圆，

同理IFCD共圆。

又∠BED=∠EFD,

故∠BDA=2∠EDB=2∠FDI=2∠FCI,

则CI为∠ACB角平分线，

故I为△ABC内心。

注：1）曼海姆定理前面提到过两次，第一次在[8]中例4，当时是用圆幂定理及鸡爪定理证明的，证明非常精妙简洁，而且从包络角度重新阐述了此定理，进而还揭示了其中隐藏的圆锥曲线性质。但是美中不足之处是那个证明偏计算，没有挖掘此图形的几何性质。第二次提到在[9]中的例4，其中的引理1即证明了ED为∠ADB角平分线。不过当时关注的是那个问题的证明，没有重新对曼海姆定理给出证明。这里给出了另一种几何证明，充分挖掘了切点的几何性质，发现相似、共圆、等角等结论。所谓仁者见仁智者见智，对同一个问题要学会从多个角度观察它。

2)本证明的关键是发现切点隐藏的性质，反复利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，并多次利用公切线来沟通两圆的性质，进而发现切割线定理结构。最终得出证明。其实本图中还蕴含着很多结论，例如△EIB∼△FCI等。

例9、已知：如图，AB、AC为圆的切线，D在AB上，△ADC外接圆与此圆交于E、C。BF⊥CD，F为垂足。

求证：∠FED=2∠ADC；（1996年伊朗国家队选拔考试）

思路分析：从结果入手，并挖掘图形的隐藏性质，延长EG交AD于H，希望证明H为BD中点，且DEHF共圆。这由切线沟通两圆并利用切割线定理即得。

注：本题是一个经典而精妙的题目，图形简洁、结论隽永，证明不易。当然上述证明是最简洁的，但并不是很容易想到的。我第一次遇到此题时，想了很久，用了比较复杂的手段、添加了好多辅助线才证明。后来多次简化以后才得到上述证明。希望读者自己尝试，看看还能不能找到更简洁的证明。当然要说明的是此图形中还隐藏着不少漂亮的结论等待被挖掘。希望感兴趣的读者去探索。

例10： 如图，过圆O外一点P作其切线PA、PB，OP与圆和AB分别交于I、M，DE为过M的任意弦。求证：I为△PDE内心。（2001年中国西部数学奥林匹克）

思路分析：由结果入手，要证明I为△PDE内心，即证明IP、ID分别为角平分线。

由切割线定理得OE^2=OM*OP,从而∠ODE=∠OED=∠OPE,则 PDOE共圆，则PO平分∠EPD。

再由对称性知PD、PE关于PO对称即得。

注：本图是经典而常见的圆的切割线构型，思路也比较自然。关键是发现用切割线定理倒角证明四点共圆。当然也可以直接用相交弦定理证明共圆。事实上，本题的本质是阿波罗尼斯圆，相关问题不少，例如可以考虑其逆命题等，有兴趣的读者可以研究。

例11：如图, PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线AD⊥OP，于点D，△ADC的外接圆与的另BC一个交点为E，求证：∠BAE=∠ACB。（2014年初中联赛）

思路分析：用分析法，欲证∠BAE=∠ACB，

即证BA为圆ADC切线，不难发现BDOC共圆，

则∠BDP=∠DCB=∠ODC,故△ADB∼△CDA,

从而只需证明△ADB∼△CDA,倒角希望不大，

只能倒边注意到△PDB∼△PCO及射影定理

即得AD^2=BD*CD，从而得证。

注：1）本题还是切割线构型，这算是基础而核心的构型，里面蕴藏着许多相似和共圆，要对这些非常熟悉。本题关键是得到AD^2=BD*CD，从而得到两三角形相似，进而完成证明。

2）对于△ABC，满足△ABD∽△CAD的点D是唯一的，D有很多有趣的性质值得挖掘，与此相关的问题也非常多，感兴趣的读者可以自行探索或用心积累。如果考虑的对称性，对于顶点B、C可以得到类似的点，从而可以进一步研究挖掘。