青岛丨中考数学压轴题型知识点——填空压轴考点：求线段长
前言 PREFACE
姜胜昊老师 专注初中数学压轴
定时更新最干货的初中数学压轴题型讲解。
青岛中考数学压轴填空题都是线段的求解，线段求解在全国里面非常的常见，这也是考察学生对于几何综合理解的能力。大家可以学习对比，这也是综合几何处理最精彩的地方。
实操真题讲解
1．（2020·青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为4√5/5．
【分析】
解法一：根据正方形的性质得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝EF＝1/2AE，根据三角形中位线定理得到FG＝1/2DE＝1，求得AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解法二：同理得FG的长，利用勾股定理计算DF的长，最后根据△ADF的面积列等式可得AH的长．
【解答】
解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝1/2AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝1/2DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴AE＝√AD²+√DE²＝√4²+√2²＝2√5．
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△EAD，
∴AH/DE=AD/AE，
∴AH/2=4/（2√5），
∴AH＝4√5/5，
即点A到DF的距离为4√5/5
，
解法二：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝1/2AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝1/2DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴DG＝2，
∴DF＝√DG²+√FG²＝√(4+1)＝√5，
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∴S△ADF＝1/2DF·AH＝1/2AD·FG，
∴AH＝4√5/5，
故答案为：4√5/5．
【点评】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2019·青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 （6﹣2√5） cm．
【分析】
设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF²＝（2√5﹣4)²+x²，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF²＝（4﹣x)²+2²，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
【解答】
解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝2√5．
根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝2√5﹣4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF²＝（2√5﹣4)²+x²，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF²＝（4﹣x)²+2²，
所以（2√5﹣4)²+x²＝（4﹣x)²+2²，
解得x＝2√5﹣2．
则FC＝4﹣x＝6﹣2√5．
故答案为6﹣2√5．
【点评】
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
3．（2018·青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为√34/2．
【分析】
根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝1/2BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵AB=AD
∠BAE=∠D
AE=DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝1/2BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝√BC²+√CF²＝√34，
∴GH＝1/2BF＝√34/2，
故答案为：√34/2．
【点评】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
4．（2017·青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为 32 度．
【分析】
根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB＝116°，根据直角三角形的性质得到DE＝BE＝AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD＝58°，
∴∠DEB＝116°，
∵DE＝BE＝1/2AC，
∴∠EBD＝∠EDB＝32°，
故答案为：32．
【点评】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D四点共圆是解题的关键．
5．（2016·青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（7/2）
【分析】
先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
【解答】
解：∵CE＝5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF＝18﹣5＝13．
∵F为DE的中点，
∴DF＝EF．
∵∠BCD＝90°，
∴CF＝1/2DE，
∴EF＝CF＝1/2DE＝6.5，
∴DE＝2EF＝13，
∴CD＝√DE²-√CE²＝√13²-√5²＝12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝1/2（BC﹣CE）＝1/2（12﹣5）＝7/2．
故答案为：7/2．
【点评】
本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．