如何解常系数的线性常微分方程|高数札记（1）
可乐数学按：我们将陆续刊登张博士的高数札记系列文章，其中记录了他教高等数学的一些感悟。第一篇中他介绍了求解一、二阶常系数线性常微分方程的方法。
高数札记1
@21世纪学习数学的人
这学期第一次教高等数学这门课，偶尔会有一些感悟，零零总总，汇聚于此，作一个记录。
忍不住先来一点吐槽……我一直觉得高等数学作为一门课的名称有很大的问题。按照我粗浅的理解，高等数学是相对于初等数学而言的。中小学我们学习了初等数学，到了大学继续学习高等数学，因而高等数学应该是大学数学的同义词，所以应该包含微积分、线性代数、概率论、简单的常微分方程，甚至一些复变函数。我大一的时候曾在图书馆借过一本《高等数学习题指导》，里边就包含了微积分、线性代数还有概率论，也就是目前考研数学涉及到的全部内容。但目前国内很多高校开设的高数课仅仅指微积分而已（加上一章常微初步），所以我觉得不如改为“微积分”更加合适。
吐槽完毕，说出来心理畅快多了。其实我这次教高数是半路出家，直接教的高数下，接了另一个老师的大班（他这学期有太多专业课要上）。不用从极限、连续这些基本的概念讲起，也让我省心不少。这学期一开篇就是线性常微分方程，我自觉在这方面有一些心得，所以今天就写一写如何解常系数的线性常微分方程。
1. 首先，讲一个最简单的一阶方程。假设y是x的可微函数，满足
我们都知道这个方程的解是
我想再说一下得到这个解的方法（因为后面还会反复用到 ），这个方法被称为积分因子法，具体过程如下：
我们都知道一个结论：如果函数 f 的导数恒为零，那么 f 一定是常数。 很多人都觉得这个结论显而易见，其实它的证明需要用到拉格朗日中值定理。我们用一下这个结论
好，这个一阶方程终于讲完了。
2. 下面我们开始讲二阶的方程，我们希望求解下面的方程
大部分高数书上都会告诉你，拿个指数函数试一试，然后就会得到特征方程，blablabla...实际上，有个更简单也更直接的方法。我们可以把解上面的二阶方程转化为解两次一阶方程，具体的方法如下：
（1）首先我们对p,q做一点变形
这样写有什么好处呢？好处在于，原来的微分方程可以改写为
这里，我们解了一次一阶微分方程，即用了1的结论。
（2）接下去怎么办呢？很简单，我们继续解一阶方程
这个时候，我们遇到一个状况，就是a, b是否相等的问题。
这是两个特征根相等的情况。不等的情况也很简单：
总结起来，我们通过解两次一阶方程，得到了如下的结果
3. 这个求解过程不需要任何高深的数学知识，也不必用到线性微分方程的解的结构，唯一的要求就是会用积分因子法来求解一阶方程。这个方法的另一个优点在于，即使我们面对的是非齐次的方程
把解二阶方程转化为解两次一阶方程的方法仍然奏效，而且自动会给出特解。通常，猜特解长什么样是很困难的事情，因为规则特别复杂，很难记清楚。而这里讲的方法，自动就会把特解求出来。