2020年第九届欧洲数学杯 高级组 中文翻译

高级组

1. 平行四边形中， .在直线 上取点，使得 .以 为圆心， 为半径作圆.且与 再次相交于, 证明 , 的交点在 上.

2. 设 与 为正整数. 若 元数组 中，集合中的各元素恰好均出现且仅出现一次，就称它是n的一个排列. 对n的一个排列 , 定义它的 -突变为n元数组其中下标按模处理. 求所有的正整数,使得任意两个不同的n的排列均有不同的-突变.

3. 已知 为素数. A,B两人在黑板上玩游戏. B在黑板上写下数字, 并将一个无穷正整数列 交给A. 随后,A按照B所给的数列对黑板上的数字进行操作. 在第 步中, A将黑板上现有的数字Y替换为或之一. 若某个时刻,黑板上的数字为的倍数, 则A获胜. 那么, 当p为以下两个数字时,A是否有必胜策略?

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注:   与 均为素数.

4. 设 表示正实数集. 求所有函数 ,使得对任意,均有成立.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。