步子太快容易牺牲精度,梯度下降复杂度这一简单道理,获严格数学证明

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晓查 发自 凹非寺

梯度下降是机器学习中求最小值最常用的一种算法。尽管这种算法应用广泛,但是人们关于它计算复杂度的理论研究却寥寥无几。

在今年ACM举办的计算机理论顶会STOC上,牛津大学和利物浦大学的学者们,给我们证明了这个理论问题的答案。

他们得到了梯度下降算法的计算复杂度,等于两类计算机问题的交集。

这篇文章也成为了STOC 2021的最佳论文

梯度下降的复杂度

四位作者研究人员将目光放在了TFNP中两个子集问题的交集。

第一个子集称为PLS (多项式局部搜索)。

这是一系列问题,涉及在特定区域中寻找函数的最小值或最大值。

属于PLS的一个典型例子是规划一条路线的任务,以最短的路线经过一些城市,且只能通过切换城市的顺序来改变行程。

通过调整顺序可以很容易看出哪些路线缩短了行程,最终你会找到某一条路线,无法进一步缩短路程,这条路线x就是你要找到的最小值。

用数学公式来表示就是:(p是求路线总长度的函数,g(x)表示改变x得到的新路线)

TFNP问题的第二个子集是PPAD (有向图上的多项式奇偶校验参数)。

这个问题的解来自更复杂的过程,比如Brouwer不动点定理,即对于满足一定条件的连续函数,存在一个点保持不变。

例如,如果你搅动一杯水,Brouwer不动点定理保证绝对会有一个水分子会回到它最初的位置。

用数学公式来表示就是:

实际应用中,我们不可能要求找到以上两个问题绝对精确的解,只要误差小于规定的值ε即可,也就是:

PLS和PPAD这两类问题的交集本身形成了一类称为PLS∩PPAD 的问题。

然而,直到现在,研究人员都无法找到PLS∩PPAD完全问题的一个天然的例子。所谓的完全问题,就是某类问题中最典型、最难的问题。

现在,来自牛津大学和利物浦大学的学者们终于找到了,梯度下降问题(GD)就是,它等价于PLS与PPAD的交集。

PPAD∩PLS是可以通过在有界域上执行梯度下降来解决的所有问题的类别。

而PLS与PPAD的交集,被他们证明等价于CLS (连续局域搜索问题)

PLS与PPAD的任意解(either-solution)就是PLS∩PPAD完全问题的解。

到了这里,梯度下降算法与这两个问题有什么联系呢?

请看梯度下降算法的迭代公式:

在求解实际问题,我们也是在寻找局部最小值的近似解。我们可以设置两种计算终止条件:

1、如果x’与x这两个点的损失函数小于精度ε:

那么计算终止,这与前面PLS中的Real-Local-Opt问题类似。

2、如果x’与x这两个点的空间距离小于精度ε:

那么计算终止,这与前面PPAD中的Brouwer不动点问题类似。

第一种相当于是PLS,第二种相当于是PPAD。

该结果意味着,梯度下降算法精度和速度之间存在基本联系,为获得更高精度,计算时间将会不成比例地迅速增长。

精度与时间的平衡点

实际上,吴恩达在自己的机器学习课程中已经指出,梯度下降算法的运算复杂度和步数n的平方成正比。

若对精度要求高,需要将学习率η设置得更小。

如果机器学习研究者可能希望将实验的精度提高到2倍,那么可能不得不将梯度下降算法的运行时间增加到4倍。

这表明,梯度下降在实践中必须做出某种妥协。要么接受不太高的精度,要么花费更长的运行时间来换取。

例如,一些对SGD进行加速的优化算法,虽然收敛速度更快,但很有可能陷入局部最小值。要想获得精度更高的结果,往往必须回归到SGD。

对于某些精度很重要的问题,运行时长会让梯度下降算法变得不可行。

但这并不是说梯度下降的快速算法不存在,但如果存在着这样的算法,将意味着PLS∩PPAD也存在快速算法,但寻找后者的快速算法要比前者难得多。

最后,这一问题的计算机自动证明代码已经开源,有兴趣的朋友可以前去观摩尝试。

参考链接:
[1]https://www.quantamagazine.org/how-big-data-carried-graph-theory-into-new-dimensions-20210819/
[2]https://www.youtube.com/watch?v=as720_SRpY0&ab_channel=SIGACTEC
[3]https://arxiv.org/abs/2011.01929
[4]https://github.com/jfearnley/PPADPLS/

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