小学必须入门的一个底层逻辑：此消彼长
此消彼长，可能对于很多孩子比较陌生，听上去是一个成语，要对其进行解释，貌似变成语文课了，不过即便语文老师来讲这个词什么意思，也并不能反映其数学涵义。
假如从“文艺”的角度去理解这个词，会解释成：失去了什么不要紧，总归会有获得的，人生就是一次次潮涨潮落。
可是这个词在数学上的涵义并非如此，它用来解释下面这句话是再好不过的：
为什么说它是小学必须入门的一个底层逻辑呢？
既然是底层逻辑，自然牵连甚广，比如我们学习加法的时候，孩子们都会背诵凑十，4+6=3+7，这样的等式却没有深入去讲，这里不就体现出了”此消彼长“么？，一个数减小，另一个数增加；再比如我们学习乘法的时候，4*6=3*8，学校老师也让孩子们玩24点，玩得熟练的孩子，恐怕对于几乘几等于24已经非常熟悉了，但是学校老师也没有花功夫去讲一个分量减少，那么另外一个分量会增加（或者一个因数减小，另一个因数会增加）的原理。
学校课本前面1-4年级都集中在计算上，对的，就是单纯计算，搞了快四年的竖式运算，最后四年级下才小气吧啦地教了“运算律”（有些版本是四年级上学的），交换律，结合律，分配律这些难道不是应该在前面学习计算的时候就去教的吗，搞到四年级才小心翼翼讲出来，而且讲了半天运算法则，性质，却丝毫没有点出“此消彼长”的性质，真的令人纳闷。
（选自人教版四年级下）
且看上面人教版里对于四则运算关系的总结，把关系式列了一下，叫总结各部分关系吗？也难怪，孩子们学习到了这部分很头疼，成天背诵记忆各种名词，什么被减数，被除数，商。。。头脑中充斥着名词，但是对于名词背后的相互变化的关系很少理解应用。
也难怪，无论是哪个年级的孩子，心中主动有“此消彼长”逻辑的寥寥无几。课本如此，也就只能依靠老师去引导孩子了，至于有多少老师能够在教学中引导孩子去观察算式之间的关系，总结出“此消彼长”的规律，那我就真的不知道了，家长们，老师们可以自检。
我最近遇到的几个问题，也恰好都与此消彼长有关。
第一个例子
先来说说有关于“一半多几”的问题，我记得以前写过，当时讲的是对数学语言的理解，有些人觉得“一半多几”是一个不严谨的表述，容易引起歧义，我想说的是，这是数学上很常见的表述，若是逻辑清晰，绝不会理解成别的涵义。
今天我们不去讨论语言表述的问题，而是聚焦在为什么孩子搞不清楚一半多3，剩下来的就是一半少3的问题。
这是一道典型的还原问题的题目，也就是逆向推理就可以了，但是当孩子推理到3+5=8的时候，再往前推，却变成（8+3）*2了。
“二毛吃了剩下部分的一半少3个”，假如我们把这句话里“剩下部分”看成一个整体，它分成了两个部分，一个部分是二毛吃的，一个部分就是剩下的。既然二毛吃了一半少3个，那么反过来剩下就应该是一半多3个。
此处，我省略画图，家长自己理解其中意思，看看是否可以通过画图让孩子理解。
这样分析就清楚了，剩下的是一半多3个，是8个，那么整体就是（8-3）*2=10。
第二个例子
孩子能够理解过桥问题，对于总路程也能搞清楚是包括桥长和火车长，但是家长在100*6=600后，不知道怎么解释应该600/4=150，这个150还要乘回原来的10分钟，150为什么是原来的速度呢？
这是家长提的问题，这里的底层逻辑就是乘法结构里的此消彼长，互为补偿：时间缩短了，速度增长了，一个分量减少，另一个分量就增加。
为什么呢？
在这道题目里，每分钟增加100米，6分钟跑完全程，自然增加了600米，这个600米在原来的情境中，是如何补偿的？——是依靠时间多了4分钟，也就是按照原来的速度跑4分钟（时间上的增加导致的路程增加），就相当于现在每分钟增加100米一共6分钟总体增加的600米（速度上的增加导致的路程增加）。
这里的乘法结构是一个二维的，速度*时间=路程，因此会比加法更加复杂一点，在二阶段三阶段课程中，我分别用不同的图式来表示过这类乘法中的此消彼长中的补偿关系，这里省略画图，家长可以依据我上面描述的逻辑，自己来画图给孩子看。
第三个例子
然而如果我们用此消彼长的底层逻辑来看，就变得十分简单：
A+12=2B
A+12=B+B
如果A>B，那么B>12，因此B=13
这个道理就是开头我们讲到的加法等式的性质：4+6=3+7，一个部分减小，另一个部分就要增大。
第四个例子
其实有关于“此消彼长”的底层逻辑不一定非要到小学才接触到，如果成人希望提高孩子抽象思维的能力，那么就要促进他们主动观察“事物关系”，发现规律，总结规律。
在不同年龄段上，我们都可以采取一些方法，让孩子逐步接近本质。
比如说，在孩子理解“此消彼长”之前，我们应该从“平衡”这个角度出发，让孩子理解两个事物之间存在着一种动态变化关系。
幼儿园小朋友从运动上就能感受到平衡，如果走独木桥，快要倒向另一边时，身体本能会对侧发力试图纠正到平衡状态；比如小朋友搭木质积木的时候，只要经验足够丰富，就知道如果搭“高楼”。要倒向一边的话，可以在另一边加积木或者移动一下积木。
这些都是经验性的，而且是非常宝贵的经验。只是，并不是所有孩子都能够从经验性的现象中自己察觉本质关系，因此一部分孩子需要成人引导去深入思考这里面的关系，把不同的现象都归结到一点上，去理解“平衡”。
比如我给低幼数学启蒙课设计的一个主题就是“平衡”，在这个主题里，会让孩子们通过各种活动来理解平衡的原理，通过各种现象来触及如何从不平衡到平衡。
我举例一个相对抽象一点的游戏，对于学龄后一二年级孩子，若是这里的底层逻辑比较薄弱，也不妨可以做做。
（选自低幼数学启蒙秋季第六主题）
活动背景是这样的，我们把一天的时间平均分成三类，每一类是8小时。
如果三类时间相对是平衡的，就比较合理，看看我们小朋友每天这三类时间的安排是怎样的？
在这节游戏课里我提供了家长几种数学任务（请注意这里是针对低幼儿童的），相对比较具象，可以通过数格子，一一对应的方法，来比较数量多少。
和今天我们主题匹配的一个游戏是：如果第三天，我们统计了小朋友睡眠时间11个小时（蓝色时间），黄色时间是5小时，那么红色时间应该是几小时呢？
一二年级孩子可能会用减法：24-11-5=8.
但如果我们考一个不会减法，更不理解连减情境的孩子呢？
我们可以通过移动补偿的办法来解决，因为平衡点是8小时，我们以每一类时间的平衡点8为标准，把蓝色部分多出来的3，移动到黄色部分，发现正好也可以补到8，那么剩下来红色部分也就是8小时了。
这里移动蓝色部分给黄色，就是运用了此消彼长的原理，举例凑十：
第五个例子
奥数中经常看到“移多补少”，培训班特别喜欢讲这样的套路，以至于很多孩子嘴巴上也会嚷嚷着“移多补上”，但是实际上并不知道如何应用，脱离了熟悉的题目情境，也就全然想不起来应该怎么补偿了。
对于高年级孩子，你可以鼓励孩子用多种方法解决，但是下面这种方法是一定要学习的（在三阶段课中称为：平均差值线策略）。
（选自数学微课三阶段课程）
课程我不详细讲了，这个策略的思想依然是“此消彼长”的底层逻辑，只不过运用到了求平均数的问题中。
因此我们只要算每个部分与平均值相比的差值就可以找到解决方案了。
好了，今天可以说把“此消彼长”这个底层逻辑彻底分析了一下，这个名词解释以后我就不讲了，家长不懂就查看这篇文章就可以了。其中的例子也覆盖了从幼儿园到高年级。
看完这篇文章你也能理解，培养孩子数学思维，是一个系统工程，我们需要在教孩子知识点的同时，注意不断推进孩子抽象思维能力的发展，需要渐进地来促进他们逻辑思维的发展。
只有你不断重复底层逻辑，在不同的知识点里都把本质归结到某个点上，才能有效提高孩子融会贯通的能力，举一反三的能力。如果只是就知识点讲知识点，却无前后联系，似乎在讲完全不同孤立的知识，那么孩子学习数学之路就会越来越辛苦，因为头脑中需要累积记忆的知识、套路越来越多，它们没有被精简压缩，反而会成为负担。