三视图——数学中的盖房与拆迁 / 开普饭

编者的话

本文是由本公众号2016年4月18号发表的《三视图——数学中的盖房与拆迁》以及5月20号发表的《想吃豆腐吗？——三视图的补充》整理后发表，看过这两篇文章的朋友们可以直接略过！！

“空间几何体的三视图”是高中数学新课程的新增内容之一，也是近几年高考的热点内容，主要题型就是给出几何体的三视图，计算几何体的面积和体积等相关量。学生丢分的主要原因是不能由三视图还原为几何体，画出相应的直观图。根据教学经验，就此类问题的解决方法和大家共享。

对于空间想象能力较弱的同学来说往往无从下手，特别是复杂一点的问题更是想象不出来。而老师在讲解“三视图还原成空间几何体”时经常是直接告诉学生空间几何体是什么，而没有讲清楚到底该如何去想象，或者说没有找到合适的方法告诉学生是如何想象的，这就导致想象能力较弱的学生还是不会。

今天，给大家介绍三种方法，虽然不能解决所有“三视图还原成空间几何体”的问题，但对于高中阶段的大部分问题都是可以解决的，认真领悟及练习，相信你一定会成为数学中优秀的“建筑师”。

快速、准确地解决三视图还原问题，首先要掌握简单几何体的三视图。对正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉并掌握。其次掌握简单组合体的拼接和挖去两种形式。最后，要熟记三视图之间的关系。正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。即正俯同长，正侧同高，侧俯同宽。接下来的问题就会变成简单的盖房子和拆房子的问题了！

一、盖房子

怎么盖房子，无非是打地基，建立柱，砌墙体。对了，解决“三视图还原成空间几何体”问题就是盖房子，打地基，先观察俯视图，打好“坚实”的地基，当然某些问题可能是盖空中楼阁，也就是说上大下小的模型。接下来建立柱，由正视图和侧视图综合观察找出建柱点以及柱的高度，剩下来的问题就是轻松又“弱智”的砌墙体了！

接下来我们通过一道例题来看具体操作。

例1、设某几何体的三视图如下，

则该几何体的体积为。

由三视图的“长对正，高平齐，宽相等”，我们得到如下的点与点的对应关系，

先看俯视图，可以得到地基是一个轮廓为三角形状，接着由正视图观察不可能在A,B两点建柱子（因为正视图中AB两处没有高度），在D处一定有柱子，同时也可以得到过C作AB的垂线，垂足在H处，由侧视图观察在D 处同样没有柱子，并可以得到在D处的柱子是垂直于下底面的，于是得到三棱锥，如图，

画出直观图，再进行验证，即观察其三视图看是否与题中对应，最后由题中给出的数据，得到三棱锥的大小：AH=2，HD=1，DB=1，CH=3，SD=2，轻松搞定。

二、拆房子

怎么拆房子，这里不是传统意义上的拆房子，或者说装修更为准确一些，在一栋现成房子里，找出保留的位置，即点，最后清除不需要的部分！用拆房子的方法解决“三视图还原成空间几何体”问题，主要是结合三视图，找出空间几何体的定点，最后连接得到我们需要的几何体。

接下来我们通过一道例题来看具体操作。

例2、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为( )

由三视图，很容易得到几何体一定位于棱长为4的正方体内部，所以，先建构一个棱长为4的正方体形的房子，如图,

先确定一定拆除的点，由正视图可得一定拆除E，F两点，观察俯视图可以得到一定拆除B点，最后由侧视图观察得到拆除C，G两点,同时可以得到需要增加CG的中点，不妨为S，得到如下图形，

最后，连接各点，围成空间几何体，如图，

当然，也可以擦去其他的线，不过我建议保留，这样更容易看出几何体中点线面的位置关系。

利用“盖房拆迁”理论，可以轻易秒杀三视图问题，可在编者教学过程中，发现有一类问题，用“盖房拆迁”理论解决起来比较吃力，怎么办？接下来再教给大家另一种方法。

【有时候真的很奇妙，解决问题的思路居然会来自一个梦境。首先声明，我不是一个吃货，可就是做了这样的梦：梦见去朋友家吃大锅菜。醒来居然解决了一个困惑我几天的一个问题。这场梦难不成是欧拉大神送给我的！】

三、切豆腐

小编是农村长大的苦孩子，小时候看惯了农村里面的盖房与拆迁，农村里遇到盖房和拆迁的大事，都会找乡亲们帮忙的，淳朴善良的乡亲们不会要一分钱的，也会干的热火朝天的，而户主只需管大家饭吃就行了。当大家都累了时，估计干劲就不大了，也就是说“盖房与拆迁”不给力了，户主就需要给大家做顿好吃的，而最好吃的莫过于农村里的大锅菜了，而大锅菜怎么少得了豆腐！

（不行了，休息一会儿，顺便把键盘上的口水擦一擦！）