为什么要先算乘除法、后算加减法?

MINGSHIZHIDAO

 明师之道

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数学课本上规定了:在没有括号的算式里,如果有乘、除法,又有加、减法,要先算乘、除法,后算加、减法。例如:

在7+4×3中,我们先算4×3=12,再算7+12=19。在20-8÷2中,我们先算8÷2=4,再算20-4=16。为什么要先算乘除法,后算加减法呢?

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一、从具体的问题情景中看

史宁中教授在《基本概念与运算法则》一书中指出:“小学阶段,数学中所有的规定都是从现实世界中抽象出来的。”如果我们回到具体的问题情景中,就很容易理解运算顺序规定的合理性了。例如,1本笔记本5元,1个书包20元,小军要买3本笔记本和1个书包,一共要用去多少元?列出综合算式是20+5×3或者5×3+20,它所表示的数量关系都是:笔记本的钱数+书包的钱数=总钱数。再如,一盒钢笔有5支,每盒40元,一盒水彩笔15元,一盒水彩笔比一支钢笔贵多少元?列出综合算式是15-40÷5,它的数量关系是:一盒水彩笔的钱数-一支钢笔的钱数=一盒水彩笔比一支钢笔贵的钱数。所以,规定“先乘除、后加减”,在解决问题时是有现实需要的。

但是,如果问题情景变成了这样:1杯可乐5元,一个汉堡10元,小明买3份套餐需要多少元?根据题目的意思,我们自然会想到(5+10)×3,先算5+10=15,再算15×3=45,其中5元和10元算的是一份套餐的价钱,需要先加,必须用括号括起来。如果规定“先加减后乘除”,就能省去添加小括号的麻烦。也就是5+15×3。

上面的例子说明,在实际生活中,既有需要“先乘除后加减”的问题,也有需要“先加减后乘除”的问题。至于要不要加小括号,则取决于我们所规定的运算顺序。

因此, “先乘除后加减”这是一种人为的规定。

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二、从数学运算的发展来看

加减法是最低级、最基本的运算,乘法是相同加数连加的简便运算。例如:4+4+4+4+4+4=4×6。除法则是连续减去相同数的简便运算。例如:18÷3=6,也就是18-3-3-3-3-3-3=0,减去了6个3。由此可见,乘除法比加减法更高一级,计算效率也提高了一步。

如果遇到这样的问题:20+3+3+3+3+3,我们自然会想到先用乘法算出5个3的和,也就是3×5,然后再加上20。

由此可见,人们之所以规定“先乘除后加减”,归根结底是为了计算的简便。

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三、从多位数乘除法运算的需要来看

在列竖式计算14×23时,我们先用个位上的3×14=42,再用十位上的2×14得到28个十,最后用42+280=322。

再来看除法竖式,在计算48÷4时,先用十位上的4÷4得到1个十,接着1×4=4。再算48-40=8,用余下的8÷4=2,接着算2×4=8,最后8-8=0。

在多位数乘除法运算中,我们都是先进行乘除运算,再进行加减运算,这样反复多次后得到运算的结果。

所以,无论是从具体的问题情景、数学运算的发展(求简)、还是多位数乘除法运算的需要中,我们都可以看出:在整数四则运算中,规定“先乘除,后加减”的运算顺序,是根据数学运算本身的特点,产生于人们解决问题时的一种“求简”本能,是必然的,也是合情合理的。

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作者简介

陈俊杉,一级教师,厦门市骨干教师。任教于北京师范大学厦门海沧附属学校,数学组教研组长。多次承担省、市、区公开课的教学任务,创作的微课先后在国家、省、市优秀教学课例比赛中获一等奖;参加区级教师教学技能比赛获二等奖。平日教学中,潜心钻研业务,勇于探索创新,积极投身于教育教学课题研究,在实践中思考与学习。被评为厦门市“德育工作先进个人”、海沧区“优秀教师”、“优秀班主任”等称号。

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