《數理精蘊》之勾股定分法題解 (12)
《數理精蘊》之勾股定分法題解 (12)
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn112
何世強 HoSai Keung
提要：本文談及《數理精蘊》之“正勾股比例”題，所謂“正勾股比例”乃指勾三股四弦五，是為最基本之正勾股形。本文談及之“定分法”較為初階，屬現代基礎三角學。
關鍵詞：正勾股、圜徑、容方、勾股定分
勾﹝或作“句”﹞股之術，始於《周髀》，其勾股形﹝今之所謂“直角三角形”﹞勾三、股四、弦五乃最早之勾股形也。《御製數理精蘊》﹝簡稱為《數理精蘊》﹞亦有勾股之問，除勾股連比例外，尚涉及勾股弦和較相求之法；此類相求之法錯綜變換複雜，《數理精蘊》增之為六十法，《御製數理精藴‧下編‧卷十二‧勾股弦和較相求法》簡介曰：
勾股弦和較相求之法，錯綜變換，共有六十。舊算書所有者八，按舊法可以變通者三十有四，舊法所無，今創立者一十有八。依題比類列目於前，按法循序設問於後，以備人之觀覽焉。
據《數理精蘊》所云，舊算書所有者八法，依舊法而變通者有三十四法，《數理精蘊》又新創十八法，故新舊變通共六十法。
筆者有文討論六十法其中部分之法，以下為文題：
《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(1)
《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(2)
《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(3)
《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(4)
《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(5)
《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(6)
《數理精蘊》勾股弦和較相求法之(7)
《數理精蘊》勾股較、弦和較及弦較較相關題之(8)
《數理精蘊》之勾股積題解 (9)
《數理精蘊》之勾股形面積題之 (10)
《數理精蘊》之勾股積與“正勾股比例”題解 (11)
本文主要以“一般情況”証明或說明《數理精蘊》之算法正確，《數理精蘊》之証明主要以圖，筆者之証明主要以現代代數法，現代代數法比圖法証明清晰。本文不討論《數理精蘊》之圖法証明。
本文數學題取材自《御製數理精藴‧下編‧卷十三‧面部三》，卷十三包括以下三分題：
1. 勾股勾股弦和較相求法﹝下﹞
2. 股勾股積與和較相求
3. 正勾股比例
本文討論“勾股積與勾股弦和較相求法”及“正勾股比例”題。
下圖為一般之直角三角形圖﹝注意勾股定理 z2 = x2+ y2﹞：
正勾股比例為直角三角形之勾：股：弦 = 3k：4k：5k，勾三股四弦五是為最基本之正勾股形，其三邊之比是為“正勾股比例”。以下之題皆屬基礎之問。
(1)
設如有正勾股，知勾股和二十一尺，求：內容方邊幾何？
解：
若一直角三角形三邊之比如下是為“正勾股”：
勾：股：弦 = 3k：4k：5k
從題意可知 3k + 4k = 21，即 7k = 21，k = 3。
即可知勾為 9 尺及股為 12 尺。
設一直角三角形ABC，CA =a，CB = b，EFGC 為其內接正方形﹝見下圖﹞，x 為正方形之一邊，於是 GA = a– x ，BE = b – x ，據相似三角形對應邊之比相等，可得：
=
，即：
=
(a – x)(b – x) = x2
ab – ax– bx + x2 = x2
ab = x(a+ b)
x =
，此即內接正方邊之長。
以下為句股求方邊圖：
從上式可知內容方邊 =
=
=
=
=
= 5.142857…，此即為方邊之長。
以下為《數理精蘊》之算法：
法以正勾股定分比例得勾九尺、股十二尺。以勾九尺七歸四因，或以股十二尺七歸三因，得五尺一寸四分二厘八毫有餘，即內容方邊也。
或“以股十二尺七歸三因”，指 12以 7 除以 3 乘，即
。五尺一寸四分二厘八毫有餘指 5.1428… 尺。“有餘”指尚有未盡之小數位。
葢內容方邊得勾七分之四，得股七分之三，見前法。故必先比例得勾數或股數，復比例得內容方邊也。
顯然方邊 =
×股 或
× 勾。此即《數理精蘊》所云“是內容方邉得股七分之三，得勾七分之四也。”顯然
× 12 =
× 9 = 5.1428… 。“七歸四因”指以七除四乘。
以上之單位為尺，略去。
答：方邊長五尺一寸四分二釐八毫。
(2)
設如有正勾股，知勾股和二十一尺，求：內容圜徑幾何？
解：
圜，圓也；圜徑，即圓直徑。從上題即可知勾為 9尺及股為 12 尺。
以下為句股求圜徑圖：
上圖 ΔABC為正勾股形，有一圓在內，內切三邊。圓半徑 =r ， 圓心為 O，r 顯然為三個三角形ΔOCB 、 ΔOBA、 ΔOAC之高，又顯然：
直角三角形面積 ABC =
ab。又從圖可知：
ΔABC = ΔOCB + ΔOBA +ΔOAC
=
ra +
rb +
rc
=
r(a + b+ c) 。
即
ab =
r(a + b+ c)
ab = r(a + b + c)
r =
，此即內容圜半徑。
直徑 = 2r =
。因為 c = √(a2 + b2)，
所以 2r =
。
若 a = 9， b = 12 ，c = √(92 + 122) = √(81 + 144) = √225 = 15，則：
ab = 9 × 12 = 108 及 a + b+ c = 9 + 12 + 15 = 36，
故
=
= 6。
以下為《數理精蘊》之算法：
法以正勾股定分之，勾三分、股四分相加之七分為一率，內容圜徑二分為二率，今所設之勾股和二十一尺為三率，推得四率六尺，即內容圜徑也。
若勾：股：弦 = 三分：四分：五分 = 3k：4k：5k，則內容圜徑
=
=
=
= 2k，即內容圜徑為“二分”。“定分”指固定之三邊及相關之比例。
於是 3k +4k：2k = 7k ：2k = 7：2，今設內容圜徑為 r，依比例可知：
21：r = 7：2
r =
= 6。
《數理精蘊》之比例四率算法如下：
|
一率 |
二率 |
三率 |
四率 |
|
7 |
2 |
21 |
r |
因為
=
，即
=
。顯然四率r = 6。
葢勾三分、股四分，弦五分者，其內容圜徑為二分，見前法。故勾股和之七分與內容圜徑二分之比，即同於今所設之勾股和之二十一尺與內容圜徑六尺之比也。
“其內容圜徑為二分”見上文之式。
四率法即比例法。以上之解說見以上等式。以上之單位為尺，略去。
(3)
設如有正勾股面積九十六尺，求：勾、股、弦各幾何？
解：
若勾：股：弦 = 3k：4k：5k，從題意可知面積為
× 3k × 4k = 6k2 = 96，即可得 6k2 = 96
k2 = 16
k = 4。
即可得勾 12 尺，股 16 尺 ，弦 20 尺。
法以正勾股定分之面積六分為一率，勾三分自乗得九分為二率，今所設之勾股積九十六尺為三率，推得四率一百四十四尺為勾自乗之方，開方得十二尺為勾。
面積為
× 3k × 4k = 6k2，《數理精蘊》稱之為“面積六分”。今設x、y、z為本題之勾、股、弦之長，《數理精蘊》所用之比例算法如下：
因為勾2 = (3k)2= 9k2，
=
，x2 = 144，x = 12。
《數理精蘊》之比例四率勾之算法如下：
|
一率 |
二率 |
三率 |
四率 |
|
6 |
9 |
96 |
x2 |
因為
=
，即
=
。四率 x2 =144，x = 12。
如以正勾股定分之股四分自乗為二率，則得今所設之股自乗之方。
因為股2 = (4k)2= 16k2，
=
，y2 = 256，y = 16。
四率股之算法如下：
|
一率 |
二率 |
三率 |
四率 |
|
6 |
16 |
96 |
y2 |
因為
=
，即
=
。四率 y2 =256，y = 16。
如以正勾股定分之弦五分自乗為二率，則得今所設之弦自乗之方，各開方而即得各數矣，或得勾而以正勾股定分之勾、股、弦各比例之亦可。
又因為弦2= (5k)2 = 25k2，
=
，z2 = 400，z = 20。
若 A、B 兩形相似，則
=
。
四率弦之算法如下：
|
一率 |
二率 |
三率 |
四率 |
|
6 |
25 |
96 |
z2 |
因為
=
，即
=
。四率 z2 =400，z = 20。
葢同式兩勾股形其面積互相為比，即同於勾股形各相當界所作正方形互相為比，見《幾何原夲‧八卷‧第四節》。故以正勾股定分之面積六尺，與勾、股、弦各方之比，即同於今所設之面積九十六尺與勾、股、弦各方之比也。
“同式”指相似，“同式兩勾股形”指兩相似直角三角形。以上之解說見上文之式，或作以下之解釋：
=
。
又㨗法：以面積九十六尺，用正勾股定分之面積六尺除之，得十六尺，開方得四尺，即知今所設之勾、股、弦為各加四倍之比例，乃以正勾股定分之各數各加四倍即得各數。
上文之意乃指以下之算法：
× 3k × 4k = 96
6k2= 96
k2 = 16
k = 4。
即可得勾 3 × 4 = 12 尺，股 4 × 4 = 16 尺 ，弦 5 × 4 =20 尺，即前文之算法。
(4)
設如有正勾股，知勾自乗、股自乗、弦自乗，共積四百五十尺，求：勾股弦各幾何？
解：
若勾：股：弦 = 3k：4k：5k，從題意可知 (3k)2 + (4k)2 + (5k)2= 450
9k2+ 16k2 + 25k2 = 450
50k2= 450
k2 = 9
k = 3。
即可得勾 9 尺，股 12 尺 ，弦 15 尺。
《數理精蘊》之算法如下：
法以共積四百五十尺折半得二百二十五尺，為弦自乗方積，開方得一十五尺為弦。
今設x、y、z為本題之勾、股、弦之長，已知 x2 + y2 + z2 = 450
2z2 = 450﹝注意勾股定理 z2 = x2 + y2﹞
z2 = 225
z = 15。
既得弦，則以勾股弦之定分比例之，得九尺為勾，得十二尺為股也。
因勾三股四弦五是為“正勾股比例”，今弦為 15，即 5 × 3，則正勾、股相應乘 3 即可得，即勾為 3 × 3 = 9，股為4× 3 = 12。
如用面積為比例，則以弦五分自乗之二十五分為一率，勾三分自乗之九分為二率，今所得之弦自乗方二百二十五尺為三率，求得四率八十一尺為勾自乗方積，開方得九尺為勾。
《數理精蘊》之面積比例求勾算法如下：
|
一率 |
二率 |
三率 |
四率 |
|
25 |
9 |
225 |
x2 |
因為
=
，即
=
。四率 x2 = 81，x = 9。
若以股四分自乗之十六分為二率，則得四率一百四十四尺為股自乗方積，開方得十二尺為股也。
面積比例求股算法如下：
|
一率 |
二率 |
三率 |
四率 |
|
25 |
16 |
225 |
y2 |
因為
=
，即
=
。四率 y2 =144，y = 12。
答：勾 9 尺，股 12 尺 ，弦 15 尺。