万能解题模型(九) 直角三角形中的分类讨论

利用非负数的性质求解数、式问题

整体代换,条件求值

明确等量关系,解决实际问题

平面直角坐标系中的面积问题

反比例函数中k的几何意义

函数与方程(组)、不等式

与角平分有关的基本模型

等腰三角形的分类讨论

直角三角形存在性的问题,首先需要观察图形,判断直角顶点是否确定.若不确定,则需要进行分类讨论,如下面模型构建.

计算求解 

1.【代数法求解】分别表示出点A,B,P的坐标,再分别表示出AB,AP和BP的长,由①BP2=AB2+AP2;②AP2=AB2+BP2;③AB2=AP2+BP2分别列方程求解.若方程有解,则此情况存在;若方程无解,则此情况不存在.
2.【几何法求解】找相似,利用相似三角形求解,如果图中没有相似三角形,可通过添加辅助线构造相似三角形.
特殊地,若有30°,45°或60°角可考虑用锐角三角函数求解.

针对训练

1.如图,∠AOB=50°,点P是边OB上一个动点(不与点O重合),当∠A的度数为 90°或40°时,△AOP为直角三角形.

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D是BC的中点,点P是边AB上的动点.若要使△BPD为直角三角形,则BP=5或16/5.

3.如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于点A(-2,0),点B(0,4),点P在直线AB的右侧,且∠APB=45°.若△ABP为直角三角形,求点P的坐标.

4.如图,抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).在x轴上找一点D,使得以A,C,D为顶点的三角形是直角三角形,求点D的坐标.

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