已知7x^2y^2+y^4=1,求2x^2+y^2的最小值。
主要内容：
介绍用二次方程判别式法、不等式公式法、三角换元法和多元函数极值法等方法，介绍代数式2x^2+y^2在已知7x^2y^2+y^4=1条件下的最小值主要思路和步骤。
方法一：判别式法
将题目结论通过条件变形得到能使用二次方程判别式形式，进而求解所求代数式的最小值。
设2x^2+y^2=t，则x^2=(t-y^2)/2,代入已知条件得：
7*(t-y^2)/2*y^2+y^4=1,化简得到：
5y^4-7ty^2+2=0,看成的二次方程，由判别式得：
(7t)^2-4*2*5≥0,
7t≥2√2*5,
t≥(2√2*5)/7,则本题所求的最小值为(2√2*5)/7。
方法二：基本不等式法
通过变形利用两个正数的基本不等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a，b，有a+b≥2√ab.
∵7x^2y^2+y^4=1，
∴(7x^2+y^2)y^2=1,即7x^2+y^2=1/y^2,进一步得：
x^2=(1/7)(1/y^2-y^2),代入所求代数式得：
2x^2+y^2=(2/7)(1/y^2-y^2)+y^2，
=(1/7)*(2/y^2+5y^2), 再利用基本不等式，得：
≥(2/7)*√2*5=(2√10)/7，即等号值为所求最小值。
方法三：均值不等式法
通过变形利用两个正数的均值不等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a，b，有ab≤[(a+b)/2]^2。实质上是基本不等式的逆应用。
∵7x^2y^2+y^4=1，
∴(7x^2+y^2)y^2=1,对括号内x^2的系数进一步变形得：
(7/2)*(2x^2+2y^2/7)y^2=1,两边同时乘以5/7得：
(7/2)*(2x^2+ 2y^2/7)*5y^2/7=1*5/7,即：
(2x^2+ 2y^2/7)*5y^2/7=(2/7)*(5/7),
利用均值不等式得：
(2x^2+2y^2/7)*5y^2/7≤
[(2x^2+2y^2/7+5y^2/7)/2]^2=[(2x^2+y^2)/2]^2,
即：
(2/7)*(5/7)≤[(2x^2+y^2)/2]^2,变形不等式得：
(2x^2+y^2)^2≥4*(2/7)*(5/7)，则：
2x^2+y^2≥2√[(2/7)*(5/7)]=(2√10)/7，即等号值为所求最小值。
方法四：三角换元法
利用正弦、余弦换元x，y，根据三角函数的有界性及不等式公式等求代数式的最小值。
设7x^2y^2=sin^2t，y^4=cos^2t，且t∈(0, π/2]。
则y^2=cost，代入正弦函数条件中得：
7x^2cost =sin^2t，即：
x^2=(√1/7)*(sint)^2/cost,将x,y代入到所求的代数式得：
2x^2+y^2
=2*(√1/7)*(sint)^2/cost+cost
=2*(√1/7)*[1-(cost)^2]/cost+cost
=(√1/7)*(2/cost+5cost),再利用基本不等式得：
≥(√1/7)*2√(2/cost*5cost)，
=(2/7)*2√(2*5)=(2√10)/7，取等号值为所求最小值。
方法五：导数法
设所求最小值为t(t为常数)，则2x^2+y^2=t,可求出函数y对x的导数，此时的导数并与已知条件中y对x的导数相等，即可求得最小值。
由2x^2+y^2=t，两边对x求导得：
4x+2y*dy/dx=0,即：dy/dx=-2x/1y;
对已知条件方程两边同时求x导数得：
14xy^2+7x^2*2y*dy/dx +4y^3*dy/dx=0,
此时dy/dx=-7xy^2/(2y^3+7x^2y)，两处导数相等得：
-7xy^2/(2y^3+7x^2y)=-2x/y，化简该方程得:
x^2=3y^2/14……（1）；
将方程（1）代入已知条件得：
7*3y^2/14+y^4=1，
即y^4=2/5,进一步得y^2=2√(2/5) ……（2）.
由（1）（2）代入所有代数式，得：
2x^2+y^2的最小值
=23*√(2/5)/14+√(2/5)
=2*(5/7)√(2/5)
=(2√10)/7。
方法六：多元函数极值法
设F(x,y)= 2x^2+y^2-λ(7 x^2y^2+y^4-1),分别求F对x,y,λ的偏导数。
∂F/∂x=4x-14λxy^2；
∂F/∂y =2y-14λyx^2-4λy^3;
∂F/∂λ=7x^2y^2+y^4-1.
令∂F/∂x=∂F/∂y=∂F/∂λ=0，则：
2x=7λxy^2；
y=λ(7yx^2-2y^3);
两方程相除得：
2x/y=7xy^2/(2y^3+7)，
后续步骤同方法五的部分步骤，即可得所求代数式的最小值为(2√10)/7。