【正理图说】数学抽象

​首先，数学抽象是抽象的一种，属于一种思维过程，也是一种方法或素养。大概地说，是指“抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程”。去芜存菁，去伪存真，由此及彼，由表及里。

逻辑上，数学抽象有两种基本方式，一是等势抽象，涉及四种本质的数学活动：构造集合——建立等价关系——确定等价类——符号化。这属于数学内部的抽象，弗赖登塔尔说的“垂直数学化”。对于咱们没有经历过高数洗礼的人来说难以理解把握，那我就不能在此胡说八道丢人现眼暴露学渣了。

还有一种抽象途径是理想化，就是从现实原型到数学模型的过程，上一幅图呈现的就是理想化抽象。这是现实世界到数学世界的过渡，“水平数学化”。我们小学数学教师日常说的用的一般都是这一种数学抽象。

除了逻辑分类，数学抽象的方式还可以从心理过程上来划分，也存在两种基本的抽象方式。一般化抽象和分离式抽象。

​一般化抽象即减少概念限制，使其适用于更规范的情境。这种抽象的数学对象与特殊情形之间保持着双向的联系，使得学习者可以在不同的情形中确认数学对象，也可以由数学对象联想到每一个特殊情形。

分离式抽象即通过概念与其背景相分离而达到抽象的目的。

数学中大多数概念是一般化抽象的结果。分离式抽象一般只出现在一些由定义给出的概念中，这里要注意，数学定义并非一开始就是精确的，有一个抽象化和精致化的过程。

这里，本胖不禁产生一个疑问：逻辑过程上划分的等势抽象可以归入心理过程的哪一种抽象形式呢？一般化抽象还是分离式抽象？还是两类都有，交叉？或者说，哪些数学对象从逻辑过程看是从等势抽象得到，同时从心理过程看是由一般化抽象或分离式抽象得到？哪位大咖可以举例说明？

抽象极重要，可以说没有抽象就没有思维，咱这会儿也就不可能搞文字交流，任何概念都是抽象的结果。数学抽象相对于其他抽象有自身的特点，抽象性和演绎法是现有数学体系的两大法宝。

前苏联大数学家亚历山大洛夫指出数学抽象有几个特点：1.只保留量的关系和空间形式而舍弃其他一切；2.一级一级逐步提高，达到极高抽象程度，远超其他学科的一般抽象；3.数学几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系到圈子之中，推理计算，不仅概念连方法都是抽象的、思辨的。

数学抽象有不同的水平，即“数学抽象度”不同。同一个概念不同人认知中的抽象水平不一样。如果概念P是在概念Q基础上通过等势抽象而生成，则可以说概念P复杂于概念Q，抽象度也高于Q。有“弱抽象”“强抽象”“构象化抽象”“公理化抽象”之分。

想起一句话，数学是玩概念的。而概念是抽象来的。可以说抽象性是数学的本质特征，数学抽象是绕不开的数学话题。