考研专业课之高等代数真题及答案整理精选
一、判断题
1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中
．（ ）[南京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故
a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P
ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P
又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有
综上所述得P为数域．
2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（ ）[南京大学研]
【答案】错查看答案
【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．
3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（ ）[南京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．
二、计算题
1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]
解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则
（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4
所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．
（2）若p≠4，则继续辗转相除，即
当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1
即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故
f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）
这时f（x）的三个根为1，1，－8．
2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］
解：设6次单位根分别为
由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.
由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得
从而f1（－1）＝f2（－1）＝0
即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1
三、证明题
1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an的根，证明：q∣a0，p∣an[华中科技大学研]
证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且
f（x）＝（qx－p）（bn－1xn－1＋…＋b0，bi∈z
比较两边系数，得a0＝qbn－1，an＝－pb0⇒q∣a0，p∣an
2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件是fk（x）∣gk（x）[浙江大学研]
证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h（x）∈P（x），两边k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk（x）
（2）再证充分性．设fk（x）∣gk（x）
（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）
（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么
f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①
所以fk（x）＝dk（x）f1k（x），gk（x）＝dk（x）g1k（x）
因为fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h（x）
所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），两边消去dk（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②
由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）
这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1
一、选择题
1．下面哪一种变换是线性变换（ ）．[西北工业大学研]
A．
B．
C．
【答案】C查看答案
【解析】
不一定是线性变换，比如
则
也不是线性变换，比如给
而
不是惟一的．
2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）．[西北工业大学研]
A．必相等 B．可能相等亦可能不相等 C．不相等
【答案】B查看答案
【解析】比如在
中选三个向量组
(I)：0
(Ⅱ)
(Ⅲ)
．
若选（I）（II），秩
秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．
二、填空题
1．若
则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]
【答案】2；4．查看答案
【解析】在复数域上令
；则
是线性无关的．
则
此即证
可由
线性表出．
在实数域上，令
若
，其中
，则
此即
在R上线性关．
可由
线性表出，所以在实数域R上，有
三、分析计算题
1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求
之维数的一切可能值．[南京大学研]
解：取
的一组基
，再取
的一组基
则
＝秩
2．设U是由
生成的
的子空间，W是由
生成的
的子空间，求
（1）U＋W：
（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]
解：（1）令
可得
．所以
由于
为
的一个极大线性无关组，因此又可得
且
，故
为U＋W的一组基．
（2）令
因为秩
＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：
再令
，则
故ζ为U∩W的一组基．
3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令
（1）证明：W关于Kn的运算构成Kn的一个子空间；
（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：
（3）对于非齐次线性方程组
求W的一个基．[华东师范大学研]
证明：（1）显然W≠
，又
因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以
即kα＋lβ∈W，此说明W是Kn的子空间．
（2）对线性方程组（A，B）Xn＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r（A，B）＝n－r＋1．
任取α∈W，存在t∈K，使
所以
是线性方程组（A，B）Xn＋1＝0的解．
这样，存在W到V的映射，
显然，这是W形到V的一个双射．又
α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K。