2020保加利亚IMO代表队选拔考试-中文翻译

在Dragomir Grozev的博客上看到了半年前保加利亚TST的解答.于是把题目翻译了出来.却忘记了丿神早就从保加利亚语翻译过了.

该博客的链接我放不进"阅读原文"里.就放在这里吧: https://dgrozev.wordpress.com/

1.锐角内接于圆, 且. 在线段上取点,以CD为直径作圆, 与再次相交于点. 取中点, 直线 与再次相交于点.过作切线,两者交于点. 过作垂线, 垂足为. 在直线上取点,使得在线段上. 证明: 当且仅当时,.

2.给定两个奇正整数 , 求证: 对任意,存在 ,使得 与中,至少有一个被整除.

3.对集合,设表示它的满足如下两个条件的子集所组成的集合:
1)的所有元子集都属于
2)对任意非空的集合,存在元素使得
求 可能的最小值.

4.伊万在一个的棋盘上玩游戏, 规则如下: 在每一步中, 伊万选择一个空单元格,放入一枚棋子. 这个空单元格需满足, 与它同行或同列的的单元格中棋子个数之和为偶数. 当伊万不能放下棋子时, 游戏结束. 那么, 伊万至少需要放下多少枚棋子,才能使游戏结束?

5.(本题与2000土耳其TST雷同)给定函数,使得.证明:存在线性可加的唯一函数 (即 ) 使得 对任意成立.

6.中, , 分别为所对旁心.过作平行线,与交于. 取中点, 设所对旁切圆与直线切于点. 点满足, 且在同侧. 直线与直线分别交于点,证明:共圆.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。