2020-2021美国数学人才搜寻(USAMTS) 第二轮-中文翻译
第二轮
1.下图是一个网格表, 其中每个灰色格子需填入给定的集合中的正整数, 且每个数只能用一次, 每个白色格子需填入一个不超过9的正整数, 并满足如下条件:
每个灰色格子中的正整数等于所有与它相邻的白色格子的数字之和, 其中相邻指有公共顶点.
任意一个灰色格子所相邻的白色格子中的数字互异, 即任意两个数字相同的白色格子不与同一个灰色格子的相邻.
给定的数字集合为: {15,23,28,35,36,38,40,42,44 }
注: 本题目填法唯一, 但无需证明其唯一性.
2.无穷多个小动物站成一列, 格若戈站在队伍的最前面, 手中有n个糖果, , 其他的小动物没有糖果.
随后, 格若戈将自己手里的n个糖果分发给自己身后的n个小动物, 每个小动物一个. 糖果分完之后, 格若戈离开队伍, 随后, 格若戈身后的小动物依次重复格若戈的操作, 即站在队伍最前面的小动物将自己手里的所有糖果(设为k个)平均分发给自己身后的k个小动物, 并离开队伍.
已知在分发的过程中, 某个格若戈之外的小动物曾经短暂的拥有所有的糖果. 求n的所有可能的值.
3.对非常数实系数多项式f(x), 设S(f)表示f(x)的所有根的和.已知非常数实系数多项式p,q满足求S(p+q)的所有可能的值, 并证明.
4.如图, 中, AB＜AC. H和O分别为垂心和外心. 过A作其外接圆的切线, 与BC交于点T. 已知CH过AT中点, 求证: AO平分CH.
5.设为任意正整数. 对任意i, 将在10进制下写次, 并将其中每个数字替换为它被2除的余数, 得到一个二进制数. 将这个二进制数转为10进制, 即为. 求证: 当N足够大时, 恒成立.
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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。
这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。