《九章算術》之環田及其面積公式說
《九章算術》之環田及其面積公式說
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：古已有環田術，即求環田面積之公式，載於《九章算術‧卷一‧方田》中之環田術，公式為“并中、外周而半之，以徑乘之，為積步”，此為環田面積公式二。
關鍵詞：環田、徽術、李淳風、密率
《九章算術‧卷一‧方田》中有環田術，即求其面積。所謂“環田”，即如環狀之田曰環田，在一般情況下，兩圓同心。環田之問，屬初等數學。
“環田”之名源自古代環形之玉製飾物。《九章算術》李籍音義曰：
戶關切。環田者，有肉有好，如環之形。《爾雅》曰：“肉好若一，謂之環。”或作鐶。
“環”之讀音為“戶關”切，近今之粵音，陽平聲。《爾雅‧釋器》曰：
肉好若一，謂之環。
故古之環者，玉之屬也，類珪、璋、璧、瑄等玉製之物。“肉”與“好”之義見後文。
一環田以C2 為內圓周，《九章算術》稱之為“中周”，C1 為外圓周，《九章算術》稱之為“外周”，求環田之面積。
《九章算術》之所謂“徑”乃指環之闊，亦即《爾雅》所云之“肉”，“中周”之孔亦即《爾雅》所云之“好”﹝見下圖﹞。
若d1 為大圓直徑，d2 為小圓直徑，則d1π = C1，d2π = C2。
可得d1 =
，d2 =
。
大圓面積 = π
= π
=
。
小圓面積 = π
= π
=
。
以下為環田圖：
從圖可知環田面積= 大圓面積 – 小圓面積=
–
=
。
以上為環田面積公式一。
顯然“徑”=
(d1 – d2)=
(
–
) =
。
《九章算術‧卷一‧方田》有以下一問：
今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問：為田幾何？
答曰：二畝五十五步。
解：
從上文可知 C1 =122，C2 =92。
若依古率 π = 3，則環田面積 =
=
=
=
= 535﹝方步﹞。
因 240 方步為 1 畝，此為畝法，535 方步合 2 畝 55 方步，合所問。
“徑”=
=
=
= 5﹝步﹞。
以上即注文所謂：
此欲令與周三徑一之率相應，故言徑五步也。
“徑五步”之條件其實可以算出而不必提供。
以所謂“徽術”言之，所謂徽術，乃指 π =
，即：
“徑”=
=
=
= 4
﹝步﹞。
以上即注文所謂：
據中、外周，以徽術言之， 當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。
所謂“密率”，乃指 π =
，即：
“徑”=
=
=
= 4
﹝步﹞。
以上即李淳風按語：
淳風等按：依密率，合徑四步二十二分步之十七。
若依徽術 π =
，則環田面積 =
=
=
=
=
= 511
﹝方步﹞。
511
方步合 2 畝 31
方步。
以上即注文所謂：
於徽術，當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。
若依密率 π =
，則環田面積 =
=
=
=
= 510
﹝方步﹞。
510
方步合 2 畝 30
方步。
以上即李淳風按語：
淳風等按：依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五。
《九章算術》曰：
術曰：并中、外周而半之，以徑乘之，為積步。
“積步”指環田面積。以上之說即指
× 徑
=
×
﹝見前文﹞
=
= 環田面積。
以上之環田面積公式乃《九章算術》之一項成就。以上為環田面積公式二。
以上即注文所謂：
此田截而中之周則為長，并而半之，知亦以盈補虛也。此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，餘則環實也。
清校官案曰首句有脫誤，當云：
截齊中外之周，周則為長。
以文字說明費力兼抽象，參閱上式則簡單。至於“此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，餘則環實也”即指下式：
環田面積 = 大圓面積–小圓面積 =
–
=
。
《九章算術‧卷一‧方田》環田又有以下一例：
又有環田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，徑十二步三分步之二。問：為田幾何？
答曰：四畝一百五十六步四分步之一。
解：
即 C1 =113
=
，C2 = 62
=
，先設 π = 3，先求徑：
C1 – C2 =
=
，
“徑”=
=
=
= 8
﹝步﹞。
若 π =
，則：
“徑”=
=
=
= 8
﹝步﹞。
以上即李淳風按語：
淳風等按：依周三徑一考之，合徑八步二十四分步之一十一。依密率，合徑八步一百七十六分步之一十三。
若依徽率 π =
，則：
“徑”=
=
=
=
= 8
﹝步﹞。
原答案徑為 12
步，此數過大。注文曰：
此田環而不通匝，故徑十二步三分步之二。若據上周求徑者，此徑失之於多，過周三徑一之率，蓋為疏矣。
於徽術，當徑八步六百二十八分步之五十一。
三率皆不能得 12
之數。
清‧李潢《九章算術細草圖說》“不通匝”指環田有缺口，若環田有缺口，則欠條件以算出其徑及面積。
以下為《九章算術細草圖說》“不通匝”之環田圖：
至於面積，可以以
× 徑 之式算出，今先算出：
C1 + C2 =
+
=
=
，
可知
=
。
先設π = 3，於是環田面積
= 8
×
=
×
=
= 745
﹝方步﹞。
745
方步 合 3 畝 25
方步。
以上即注文所謂：
依周三徑一，為田三畝二十五步六十四分步之二十五。
若 π =
，則環田面積 =
×
=
=712
﹝方步﹞。
712
方步 合 2 畝 232
方步。
以上即注文所謂：
於徽術，當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。
若 π =
，則環田面積 =
×
=
=711
﹝方步﹞。
711
方步 合 2 畝 231
方步。
以上即李淳風按語：
淳風等按：密率，為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。
以上所得之環田面積不合原答案 4 畝 156
方步。
注文曰：
術曰：置中、外周步數，分母子各居其下。母互乘子，通全步，內分子(1)。以中周減外周，餘半之(2)。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法。除之為積步。餘積步之分(3)。以畝法除之，即畝數也。
以上之術其實指環田面積 =
× 徑，而“徑”=
。
清校官案曰：
(1) 案此句上下皆有脫文，當云：分母相乘，通全步，內分子，并而半之。
(2) 亦有脫文，當云：又可以中周減外周，餘半之，以益中周。
(3) 此句下皆有脫文，當云：餘積步之分，等數約之。
案 (1) 指兩分數先通分母，通分母後分子可能須要乘以某數，相加後除以 2。
案 (2) 指
，分子相減亦須通分母。
案 (3) 指面積如有分數，分數之分母及分子有公因數，則約簡之。
附錄：
《爾雅‧釋器》原文：
中央有孔之圓形玉器曰環。《爾雅‧釋器》曰：
肉好若一，謂之環。
“肉”，邊也；“好”，孔也；故邊與孔適等若一曰環。
以下為環圖：
《爾雅‧釋器》曰：
肉倍好，謂之璧。
以下為璧圖：
《爾雅‧釋器》曰：
好倍肉，謂之瑗。
以下為瑗圖：
《爾雅‧釋器》所云之“肉”與“好”之比例乃粗略，出土實物並非如此。