初中奥数精讲——第29讲 用整体思想解题

一、知识点解析

1. 解数学问题时，一般情况下，为了弄清整体，常把它分成若干个简单问题和不同的情形，分类讨论，各个击破。与分解、分类处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握方向，找出解题思路。

2. 运用整体思想常用手段与技巧

（1）整体观察；

（1）整体代入；

（1）整体换元；

（1）整体求和；

（1）整体求积等等。

这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，用整体思想解题是很有意思的一类奥数题，很有技巧性。这部分题型多样，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在用整体思想解题的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （全国初中数学联赛试题）

设a、b、c是不全相等的任意数，若

，

则x、y、z中（            ）。

A. 都不小于零                              B. 都不大于零

C. 至少有一个小于零                  D. 至少有一个大于零

例2

2004名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军，问应进行多少场比赛？为什么？

例3 （天津市竞赛题）

例4

已知4×4的数表（如下），如果把它的任一行（横行）或一列（竖列）中的所有数同时变号，称为一次变换。试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数？

例5 （北京市“迎春杯”竞赛题）

如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中10个圆圈内，使任意连续的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图。

例6

41名运动员所穿的运动服号码是1,2,3,4,…,40,41这41个自然数。问：能否使这41名运动员站成一圈，使得任意相邻两个运动员的号码数之和都是质数？为什么？

例7

用24个面积为1的单位正方形拼成如图所示的正六边形，我们把面积为4的正三角形称为“希望形”。

（1）请问图中共可数出多少个不同的“希望形”？

（2）将1-24这24个自然数填入24个单位正三角形（每个里只填一个数）。我们依次对所有“希望形”中的四个单位正三角形中填的数同时加上一个相同的自然数称为一次操作。问能否经过有限次操作后，使图中的24个单位正三角形中的数都变为相同的自然数？如果能，请给出一种填法；如果不能，请简述理由。

例8

甲乙两人从相距20千米的两地同时出发，相向而行，甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/时，一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉过头来向乙跑去。。。直到甲、乙二人相遇为止。若小狗的速度是13千米/时，在这一奔跑的过程中，小狗的总行程是多少千米？

如果你能够在不看答案的情况下就很顺利解决这些问题，那么说明你用整体思想解题方面的掌握已经很透彻，这样的话可以加微信号miaomiao-asd，有更多有意思有深度的题目和讲解可以提供，还可享受一对一线上咨询辅导。关注抖音号“ 数学奥数思维拓展”-1059021292，观看更新的相关视频讲解。