群策群力 八仙过海 八种方法解一道二元无理式的最小值
浙江省平阳中学 洪一平
湖南永州 唐 佳 陕西渭南 魏拴文
辽宁沈阳二中 刘 锐
湖北省阳新县高级中学 邹生书
题目：已知x>0,y>0,2x+y=2 ,求x+√(x2+y2)的最小值。
解法1：代入消元+判别式法求最小值
由x>0,y>0, 2x+y=2，得y=2-2x，则
评注：三角换元后问题转化为含有正弦余弦的三角函数的最小值问题，还可用万能公式转化求解，也可以导数方法求最小值等，这里就不一一展开了。
解法3 待定系数法助力柯西不等式求最小值
湖南永州 唐 佳 提供
解法4 三角换元+待定系数法+柯西不等式
洪一平 提供
解法5：复合函数求导法求最小值 洪一平 提供
解法6 数形结合法 用角平分线的性质构造对称图形 洪一平 提供
如图，在平面直角坐标系, 设A (1, 0), B (0, 2),
P (x, y)是线段AB上的动点,设直线OB关于直线AB的对称线为直线BC,
由tan∠OBA=1/2,
知tan∠OBC=tan2∠OBA=4/3,
得C (8/3, 0), 知直线BC: 3x+4y-8=0,
设P在OB,BC上的垂足分别为D, E,
O在BC上的垂足为H,
则原式=|PD|+|OP|=|OP|+|PE|
≥|OH|=8/√(32+42)=8/5,
当O, P, H三点共线时, 等号成立,
故x+√(x2+y2)的最小值为8/5。
解法7 用将军饮马问题的方法求最小值 刘锐 提供
如图，在平面直角坐标系, 设A (1, 0), B (0, 2), P (x,y)是线段AB上的动点（A,B两点除外）,满足2x+y=2，则x+√(x2+y2)=PM+PO.
作点O关于直线AB的对称点C，可求得点C的坐标为（8/5,4/5）,过点C作y轴的垂线，垂足为D,交AB于点E，则PO=PC,EO=EC.
PM+PO=PM+PC≥CD=8/5,
当点P与点E重合时，等号成立。
故所求式子的最小值为8/5.
解法8 用物理光学性质求解 魏拴文 提供
如图，在平面直角坐标系, 设A (1, 0), B (0, 2), P (x,y)是线段AB上的动点（A,B两点除外）,满足2x+y=2，过点P作y轴的垂线，垂足为M,
则x+√(x2+y2)=PM+PO.
根据光在同一媒介里沿最短路径传播这一性质可知，从点O发出的光线射到直线AB发生反射后平行于x轴，这样的光线是存在的，且是唯一的。设平行于 x轴的反射光线与y轴相交于点M，由入射角等于反射角知，
∠1=∠2，又由MP//OB,得∠2=∠3，
所以∠1=∠3，所以OP=OB=1,即x2+y2=1，
又x+2y=2,联立解得x=3/5,
所以PM+PO=3/5+1=8/5.
故所求式子的最小值为8/5.
点评：解法8是借助物理光学性质通过构建物理光学模型求最小值，解法7是用将军引马问题中的思想方法，即通过作对称点，然后用垂线段最短最最小值，用的是几何方法。两种方法具有异曲同工之效。
以上的解法8是编者根据魏拴文老师发到高中数学解题交流二群的帖子编辑整理而成的，原先的解法帖子如下：
这个解法的严谨性在群里引起了一点争议，可能是表达方面带来的。编者认为解法8的正确性是没有问题的，解法8与解法7从效果与图形来看都是一致的。下面是魏老师发到群里的解法效果图。
如果读者朋友觉得解法8是一种偶然的话，编者请读者朋友用解法8与前面7种解法任选些解法做下面两道改编题就知道了，解法8并非偶然，而是必然。用物理光学性质解这类问题同样是正确的。读者朋友还可以自己编题进行解法比较。
改编题1：已知x>0,y>0,x+y/3=1 ,
求x+√(x2+y2)的最小值。
改编题2：已知x>0,y>0,x/2+y/3=1 ,
求x+√(x2+y2)的最小值。