《科学史上的重大发现》【2】
数学篇 (下)
数学归纳法的诞生
我们经常会遇到涉及全体自然数的命题，对待这种问题，如果要否定它，你只要能举出一个反例即可。如果要证明它，由于自然数有无限多个，若是一个接一个地验证下去，那永远也做不完。怎么办?数学家想出了一种非常重要的数学方法来解决这类问题，那就是数学归纳法。数学归纳法在数学中有着广泛的应用，它是沟通有限和无限的桥梁。
欧几里得的开端
实际上，人们很早就遇到了无限集合的问题，而当时具体的推导或计算都只是针对有限对象，实施有限次论证。怎样在具体的推导或计算中把握无限的难题，这很早就摆在数学家面前了。
最先是古希腊数学家欧几里得在他的《几何原本》中采用了近似于数学归纳法的思想。该书第9卷第20命题是：“素数比任何给定的一批素数都多。”
欧几里得在证明这一命题时采用了独特的“几何”方式，他把数视为线段：设有素数a、b、c，另设d=a·b·c+1，则d或是素数或不是素数。如果d是素数，则d是与a、b、c三者都不同的素数。如d不是素数，则它必有素因数e，并且e与a、b、c都不同，所以一定有比给定的素数更多的素数。
这一证明里隐含了：若有n个素数，就必然存在n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个。这是一种试图用有限推导把握无限的做法。虽然它不是很完善，但由于它隐含着这个命题，是人们还是普遍接受了它。这可以说是数学归纳法思想产生的早期，是人们沟通有限和无限的一种初步的尝试。
帕斯卡的工作
欧几里得之后，似乎是由于数学的发展长期没有进一步提出涉及无限集合的问题，所以在漫长的18个世纪中没有人在这个问题上前进一步。直到16世纪，一位意大利数学家毛罗利科在他的《算术》一书中明确地提出了一个“递归推理”原则，并提出了一个例子：
“证明1+3+5+…+(2k-1)=k2对任何自然数都成立。”他用这一例子来说明这一原则的应用。不过他并没有对这一原则作出清晰的表述，所作的证明也仅限于对k=2、3、4时进行的计算。他仍像欧几里得那样，隐含地表示出原则的必要性。但由于他第一次正式提出这一原则，并以例子说明，所以人们认为毛罗利科是第一个正式应用数学归纳法的人。
明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家、物理学家帕斯卡。帕斯卡发现了一种后来被称为“帕斯卡三角形”的数表，即二项展开式系数表，中国称为“贾宪三角形”(是宋代贾宪于公元11世纪最先发现的)。而帕斯卡在研究证明这个算术三角形命题时，他最先准确而清晰地指出了证明过程所必须且只需的两个步骤，他称之为第一条引理和第二条引理。
第一条引理该命题对于第一个数(即n=1)成立，这是很显然的。
第二条引理如果该命题对任一数(对任一n)成立，它必对其下一数(对n+1)也成立。由此可见，该命题必定对所有n值都成立。
帕斯卡的证明方法正是现在的数学归纳法，他所提出的两个引理就是数学归纳法的两个步骤，他在1654年写出的著作《论算术三角形》中做了详尽的论述。因此，在数学史上，人们认为帕斯卡是数学归纳法的创建人。
归纳法的完善
由于帕斯卡的时代尚没有建立表示自然数的符号，所以帕斯卡证明的第二步仍然只能以例子来陈述。
1686年，瑞士数学家J·伯努利提出了表示任意自然数的符号，在他的《猜度术》一书中，给出并使用了现代形式的数学归纳法。
这样，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。后来，英国数学家德·摩根给定了“数学归纳法”的名称。1889年，意大利数学家皮亚诺建立自然数的公理体系时，把数学归纳法作为自然数的公理之一(称为递归公理或数学归纳法公理)确立起来。这才为数学归纳法奠定了坚实的理论基础。
那么数学归纳法与人们通常说的逻辑学中的“归纳法”有什么关系呢?对这一问题曾有过数学归纳法是归纳方法还是演绎方法的争论。这主要缘于“数学归纳法”的名称有误，实际上，它应称为“递归方法”或“递推方法”，是一种“从n过渡到n+l”的证明方法，与逻辑学中的归纳法没有什么关系。严格地说，它倒属于演绎方法：递归公理是它的一个大前提。
以有限把握无限
数学归纳法中的递推思想在我们的生活实践中经常会遇到。比如家族的姓氏，我们知道通常按父系姓氏遗传，即下一代的姓氏随上一代父亲的姓确定，并且知道了有个家族第一代姓李，只要明确了这两点，我们就可以得出结论：这个家族世世代代都姓李。再比如，把许多砖块按一定的间隔距离竖立起来，假定将其中任何一块推倒都可以波及下一块砖倒掉，这时你如果推倒了第一块砖，后面无论有多少块砖，肯定全部会倒掉。
这两个事例告诉我们这样一个道理：在证明一个包含无限多个对象的问题时，不需要也不可能逐个验证下去，只要能明确肯定两点：一是问题所指的头一个对象成立，二是假定某一个对象成立时，则它的下一个也必然成立，这两条合起来就足以证明原问题。数学归纳法就是在这个简单道理的基础上抽象而成的，它的现代表述是：证明关于自然数n的命题P(n)，只要：一证明P(1)为真；二假设P(k)为真，则P(k+1)为真。两项都得到证明，则P(n)为真。
依赖于自然数的命题在数学中普遍存在，用数学归纳法证明这类命题，两步缺一不可：第一步叫奠基，是基础；第二步叫归纳，实际上是证明某种递推关系的存在。这是以有限来把握无限，通过有限次的操作来证明关于无限集合的某些命题。
数学界把数学归纳法视为沟通有限和无限的桥梁。假如没有这个桥梁，很难想象人类如何认识无限集合问题，数学的发展也将会大打折扣。所以，数学家非常重视并经常使用它，正是这座桥梁使人类通向了认识的彼岸。
数学皇冠上的明珠
18世纪的德国，有一位年过半百的中年人，在看起来并没有什么特别的数字里，竟发现了一个秘密，提出了一个似乎很简单的猜测，可这一猜想令后人折腾好几百年，仍一筹莫展。这是他从未料到的像神话般的一个真实的科学故事。
公使提出的难题
18世纪普鲁士有一位法律系毕业的大学生，名叫哥德巴赫。1725年他来到俄国，出众的才华使他成为彼得堡科学院院士并兼任秘书，1742年，被德国任命为常驻莫斯科外交公使。哥德巴赫办公之余，爱思考数学问题。有一天他对“奇数+奇数：偶数”这一数字规律细细推敲，发现其中似乎还存在另一个奥妙：
奇素数+奇素数=偶数
他验算了许多偶数都是对的。于是，他大胆地产生了一个奇想：“任何一个不小于6的偶数都可以表示成两个素数之和。”在此基础上，他还发现：“每一个不小于9的奇数都可以写成三个奇素数的和。”
他的“异想天开”对不对?他不能证明。1742年6月7日，52岁的公使先生写信给在俄国彼得堡工作的世界著名的瑞士数学家欧拉，告诉他发现的这一奥秘，并希望数学大师给出证明。
同年6月30日，欧拉在给他的回信中说：“任何不小于6的偶数都是两个奇素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑地认为这是完全正确的结论。”显然，公使先生信中的第二个问题可以从第一个问题推出，但从第二个问题却推不出第一个问题。因此，人们把第一个问题叫做“哥德巴赫猜想”，把第二个问题叫做猜想的推论。
欧拉是当时首屈一指的数学家，解决了许多难题，然而面对这一看似简单的猜想，竟也感到为难，直到去世时都没能证明，这引起了大家的注意。在以后的200多年里，无数数学家和数学爱好者试图证明这一猜想，可无人能完成。他们的心血都被这一猜想所吞没。
公元1900年，德国著名的哥廷根大学教授希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家会议上，提出了震动数学界的23个世界数学难题，其中第8个问题就是哥德巴赫猜想。他把这一猜想比作数学皇冠上一颗美丽的宝石，希望有人能摘取它。不少数学家做了很多验证工作，他们检查过3300万以内的全部偶数，发觉猜想都是对的，但是，偶数是无穷无尽的，验证不能代替证明。他们还是悲观地认为，这是“现代数学家所力不能及的”。
兰道是把从正面进攻改为从侧面攀登，逐步接近猜想，在数学上叫做“弱型哥德巴赫问题”。证明时，C越小越好，特别当不小于6的偶数时，若证明了C=2就证明了猜想成立。这是一个更诱惑人的命题，于是人们开始冥思苦想，寻找C=2的另一条路子了。
1937年，苏联数论大师维诺格拉多夫应用英国人创造的“圆法”与他自己创造的“三角和法”，证明了猜想的推论：“充分大的奇数可以表示为三个素数之和”是正确的。由此推出每一个充分大的正整数都是四个素数之和。”换句话说：当正整数为充分大的偶数时，C≤4；当正整数为充分大的奇数时，C≤3。
1938年，我国著名数学家华罗庚证明了“几乎全体偶整数都能表示成两个素数之和”，也就是说，哥德巴赫猜想几乎对所有偶数都成立，被誉为“华氏定理”。
证明的喜讯不断传来以后，曾有人认为从维诺格拉多夫的“四个素数”到哥德巴赫猜想的“两个素数”只有两步之遥了，谁知这两步的腿迈出六十多年，还没有着地。
另辟蹊径冲刺“1+1”
人们从各个角度设法攻克哥德巴赫猜想，一些人从各种推论设法证明，另一些人寻找反例否定，还有一些人另辟蹊径，采用古老的“筛法”努力去攀登。
我们知道，任何一个偶数总可以表示成两个正整数的和，这两个正整数可能是素数，也可能不是素数。但我们可以把其中不是素数的正整数分解为素因子，并用代号简记为“1+1”、“1+2”、“2+3”等。“1+l”表示两个素数的和；“1+2”表示一个素数加上两个素因子的乘积。于是，哥德巴赫猜想就变成命题“1+1”，即充分大的偶数可以表示成两个素数的和。
数学家通常把这种逐步逼近猜想的方法叫做“因子哥德巴赫问题”或叫“殆素数之和”。向“1+1”进军的号角从1920年吹响了，世界各国一些数学家像奥林匹克运动会上的健儿，不断刷新着世界纪录。
1920年，挪威数学家布朗，用筛法证明了“每一个大偶数是两个素因子都不超过9个的素数之和”，即“9+9”；1924年，拉德马哈尔证明了“7+7”；1932年，爱斯斯尔曼证明了“6+6”；1938年，布赫斯塔勃证明了“5+5”，1946年又证明了“4+4”；1956年，维诺格拉多夫证明了“3+3”；1958年，我国数学家王元证明了“2+3”。
1948年，匈牙利数学家兰易用一种新的方法证明了“l+6”；1962年，我国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年，王元、潘承洞又证明了“l+4”；1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和数学家庞皮艾黎都证明了“1+3”；而最新的纪录是我国数学家陈景润证明的“1+2”。
移动群山的人
陈景润是福州市人，1950年考入厦门大学数学系，毕业后当了几年数学教师。1957年，经华罗庚推荐调到中国科学院数学研究所。在华罗庚教授等老一辈数学家的精心指导下，陈景润投入到数学研究中，取得了一个又一个令人瞩目的成果。
他在福州英华中学读高二的时候，从曾在清华大学教过书的沈元老师那里听到了哥德巴赫猜想扣人心弦的故事，从此暗下决心，长大后要去摘取这颗“皇冠上的明珠”。
1963年开始，他用自己的全部精力，向“1+1”的顶点冲击。他不分节假日，苦读寒窗夜，挑灯黎明前，殚精竭虑，探测精蕴，进行了大量的手工运算，一心一意搞这道难题的研究，搞得他发呆了。有一次自己撞在树上，还问是谁撞了他。他为证明这道难题，付出了很高的代价，磨秃了一支又一支笔；演算草稿纸已经装满了几麻袋，然而，新的草稿纸又铺满了他的斗室；数字、符号、引理、公式、推理积在楼板上有1米厚。他的肺结核病加重了，喉头炎严重，咳嗽不停；腹胀、腹痛，难以忍受，有时已人事不知了，却还记挂着数字和符号。他在抽象的思维高原，缓慢地向陡峭的巉岩攀登；不管是善意的误会，还是无知的嘲讽，他都不屑一顾，未予理睬。他没有时间来分辩，宁可含垢忍辱。
苦心不负有心人，经过三年的苦心耕耘，终于在1966年5月，他写出了厚达200多页心织笔耕的长篇论文，以他羸弱的身躯、执著的追求，向全世界宣布他证明了“1+2”，这一成功距“1+1”只有一步距离。
陈景润领先世界的成果，轰动全世界。
英国数学家哈勃斯丹和德国数学家李希特合著《筛法》一书原有10章，付印后才见到陈景润“1+2”的论文，立即要求暂不付印，特为之添写了第11章，章目为“陈氏定理”，并在序言中评价说：“这是一个相当好的成就”，是运用筛法的“光辉顶点”。一个英国数学家在给他的信里还说：“你移动了群山。”
二百六七十多年过去了，哥德巴赫猜想仍未得到最终的证明。数学家预言，这颗皇冠上璀璨的明珠在21世纪有望被人摘取。
微积分的创立
1870年，马克思52岁寿辰时，朋友库格曼送给他两块当年莱布尼茨用过的壁毯。马克思非常喜欢，把它悬挂在自己的工作室里。马克思在那年5月10日给恩格斯的信里特意谈到这件事，并且写道：“我已把这两样东西挂在我的工作室里。你知道，我是佩服莱布尼茨的。”可见莱布尼茨是个了不起的人物。
的确，莱布尼茨是德国百科全书式的天才。他不仅是微积分的创始人之一，而且是数理逻辑、计算机理论及控制论的先驱。他既是一位大名鼎鼎的数学家，也是一位才华横溢的博学巨人。
莱布尼茨
莱布尼茨于1646年6月21日出生在德国东部的莱比锡城。他是哲学教授的儿子，然而这位教授父亲在他6岁那年就过早地离开了人世。如果说他的父亲对他后来成为伟大的科学家有影响，那也只能是说他父亲为他提供了饱览丰富藏书的条件。
莱布尼茨8岁时进入学校学习，幼年起学习运用多种语言表达思想，促进了他童年思维的超常发展。15岁时考入莱比锡大学，开始对数学产生兴趣。17岁时在耶拿大学学习了一段时间的数学，受到数学家特雷维和魏格尔的指导和影响。1666年，他转入纽伦堡的阿尔特道夫大学。这年他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》，显示了莱布尼茨的数学才华。这篇论文，正是近代数学分支——数理逻辑的先声，后来他成为数理逻辑的创始人。
大学毕业后，莱布尼茨获得法学博士学位，谢绝了教授职位的聘约，投身外交界。1672年3月莱布尼茨作为大使出访法国巴黎，为期四年。在那里深受法国少年早慧的数学家帕斯卡事迹的鼓舞，使他立下决心：钻研高等数学。他在巴黎结识了荷兰数学家惠更斯，并在惠更斯的指导下，利用业余时间钻研了笛卡尔、费尔马、帕斯卡等人的原著，为他后来步入数学王国的殿堂打下了重要的基础。
1673年，莱布尼茨在英国伦敦将1642年帕斯卡发明的简单计算器进行了改造，制成了能进行加、减、乘、除、开方的计算机，因此被选为英国伦敦皇家学会会员。1676年，他到汉诺威，在不伦瑞克公爵的王家图书馆任顾问兼馆长。他博览群书，涉猎百科，独立创立了微积分的基本概念与算法，同英国牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学的基础。1693年，他发现了机械能(动能和位能)的能量守恒定律。到19世纪中叶，这条定律被推广到所有能的形式中。1700年，他被选为巴黎科学院院士。他说服了普鲁士国王弗里德里希一世建立柏林科学家协会，并出任第一任会长。这一协会即为皇家科学院，它可与伦敦的皇家学会和巴黎的皇家科学院相媲美。
莱布尼茨生逢的时代，正是欧洲科学技术飞速发展的时期。随着生产力的提高及社会各方面的迫切需要，经过各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生。1665～1666年，牛顿在英国创立了微积分(流数术)，1671年写成他的巨著《自然哲学之数学原理》，1671年写了论文《流数术和无穷级数法》，1687年出版了他的巨著。1673～1676年，莱布尼茨也独立地创立了微积分，1684年在《学术学报》上首先发表了微分法的论文“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”。1686年，他又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与分析不可分和无限》，他把微积分称为“无穷小算法”。因此，在科学的发展道路上，由于微积分创立的优先权问题，曾发生过一场争论激烈的公案。
事情是这样的，1676年，牛顿在写给莱布尼茨的信中，宣布了他的二项式定理，提出了根据流的方程求流数的问题。但在交换的信件中，牛顿却隐瞒了确定极大值和极小值的方法以及做切线的方法等。而莱布尼茨在给牛顿的回信中写道，他也发现了一种同样的方法，并诉说了他的方法，这个方法与牛顿的方法几乎没有什么两样。二者的区别是：牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼茨主要是在研究曲线和切线的面积问题上，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则。牛顿是在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达式采用的数学符号却又远远优于牛顿，既简洁又准确地揭示出微分、积分的实质，强有力地推进了高等数学的发展。
莱布尼茨在1675年以后，陆续创立的微积分符号有：dx表示微分，即为拉丁“differentia”的第一个字母，意思是“分细”；dy/dx表示导数；dnx表示n阶微分；∫表示积分，即为拉丁文“Summa”的第一个字母“s”的拉长变形，意思是“求和”。他创立的这些符号，为数学语言的规范化和独立化起到了极为重要的推动作用，正像印度—阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，它推进了微积分学的发展。
然而，莱布尼茨却因微积分发现的优先权问题，蒙受了长期的冤屈。1699年，瑞士数学家法蒂奥德迪利在寄给皇家学会的一篇文章中提出，莱布尼茨的思想获自牛顿。尽管这时牛顿参与争论，也给莱布尼茨的声誉带来了很大的影响。后来，牛津的实验物理学讲师，后来成为萨维尔天文学教授的凯尔，指控莱布尼茨是剽窃者。为此，莱布尼茨参与了这场争论，使英国人对他不满，直到1716年11月14日，莱布尼茨在汉诺威默默地离开人世的时候，朝廷竟不闻不问，教士们也借口说莱布尼茨是“无信仰者”而不予理睬。
在科学真理面前，莱布尼茨永远是强者。英国皇家学会为牛顿和莱布尼茨发现微积分的优先权问题专门成立了评判委员会，经过长时间的调查，在《通讯》上宣布牛顿的“流数术”和莱布尼茨的“无穷小算法”只是名词不同，实质是一回事，肯定了莱布尼茨的微积分也是独立发现的。
莱布尼茨的数学业绩，除了微积分，还涉及了高等数学的许多领域。
争论、诬陷没有使他减弱对科学真理的追求。1678年前他就开始对线性方程组进行研究，1693年他在给洛必达的信中提出三条相异直线：
10+11x+12y=0
20+21x+22y=0
30+31x+32y=0
共点的条件是：
10·21·32+11·22·30+12·20·31=10·22·31+11·20·32+12·21·30。
如用现代通用的符号即：
a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1=0
这正好是三阶行列式的展开式。它是西方数学史上行列式的最早起源。
此外，莱布尼茨还提出了使用“函数”一词，首次引进了“常量”、“变量”和“参变量”，确立了“坐标”、“纵坐标”的名称。他对变分法的建立及在微分方程、微分几何、某些特殊曲线(如悬链曲线)的研究上都作出了重大贡献。
数理统计学的诞生
当你漫步在森林公园或在水库边领略自然风光的时候，你是否知道森林中的树有多少棵，水库里到底有多少条鱼?这些都无法具体去数，具体去量。而当我们必须知道某一无法具体测量的事物的量时，就可以用一种可行的数学方法来计算，那就是数理统计。
从一个总体中抽取样本，将收集来的样本数据加以整理，并从中得出认识总体的结论，这是科学研究工作和日常生活中屡见不鲜的手段。数理统计是现代数学中一个非常活跃的分支，它在20世纪获得巨大的发展和迅速普及，被认为是数学史上值得提及的大事。然而它是如何产生的呢?
随着生物学发展而产生的数学方法
莱尔根据各个地层中的化石种类和现仍在海洋中生活的种类作出百分率，然后定出更新世、上新世、中新世、始新世的名称，并于1830~1833年出版了三卷《地质学原理》。这些地质学中的名称沿用至今，可是他使用的类似于现在数理统计的方法，却没有引起人们的重视。
生物学家达尔文关于进化论的工作主要是生物统计，他在乘坐“贝格尔”号军舰到美洲的旅途上带着莱尔的上述著作，二者看来不无关系。
从数学上对生物统计进行研究的第一人是英国统计学家皮尔逊。他曾在伦敦大学学院学习，然后去德国学物理，1881年在剑桥大学获得学士学位，1882年任伦敦大学应用数学力学教授。
1891年，他和剑桥大学的动物学家讨论达尔文自然选择理论，发现他们在区分物种时用的数据有“好”和“比较好”的说法。于是皮尔逊便开始潜心研究数据的分布理论，他借鉴前人的做法，并大胆创新，其研究成果见诸著作《机遇的法则》，其中提出了“概率”和“相关”的概念。接着又提出“标准差”、“正态曲线”、“平均变差”、“均方根误差”等一系列数理统计的基本术语。这些文章都发表在进化论的杂志上。
直至1901年，他创办了杂志《生物统计学》，使得数理统计有了自己的阵地。这可以说是数学在进入20世纪时最初的重大收获之一。
学科奠基者——费歇尔
数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909年进入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统计学产生了浓厚的兴趣，而后参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，并致力于数理统计在农业科学和遗传学中的应用研究。
年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉。费歇尔热衷于数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据而不减少信息、对一个模型的参数估计等。
最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面“科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。
费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在20世纪30~50年代，费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了最后三年。
源自战争需要的统计思想
英国是数理统计的发源地和研究中心，但从第二次世界大战开始，美国也发展得很快。
在战争中，人们要研究飞机上某种投弹装置的效果。如果用数学分析的方法要得出连续向矩形阵地靶子投三颗炸弹的方程，不仅方程难列，计算也相当复杂，然而实际获得的结果又很少。如果使用若干统计数据，综合投弹的概率模型，就很容易得出许多重要的信息。因此，数学研究方法的改变伴随统计方法的运用而产生。美国在第二次世界大战中，就有三个统计研究组在投弹问题上进行了九项研究。
1943年，被称为“30年来最有威力的统计思想”——序贯分析出现了。序贯分析是数理统计学科中最占优势的领域之一，它是由于军事上的需要而产生的。
1942年底，美国科学研究发展局首脑韦弗给哥伦比亚大学应用数学研究组一项任务，要求对在海军中服务的斯凯勒的一项简化公式作出评价。这项公式来自英国，用来求出敌机一次射击恰巧击中并引爆己机携带炸弹的概率。
哥伦比亚小组中的沃利斯和保尔森认为斯凯勒的公式不大好，提出了一个更简单的公式。斯凯勒认为这个公式虽好，但为了达到精密度需要很大的样本，而且需要实弹试验。这种好几千项的实弹试验实在太浪费了。
能不能设想出一条原则，当试验达到一定精密度时会自动停止，节约一些呢?
1943年春天，沃利斯仍然没有办法。于是他们请来了数理统计专家沃尔德帮助研究这一问题。
沃尔德第一天没有表态，他把自己关在屋子里苦思冥想，时而列表、时而计算、时而作图、时而做模拟试验，终于在第二天宣布他已经有办法了。这就是序贯分析法。
序贯分析的创始人沃尔德是罗马尼亚出生的犹太人，先后就读于克卢日大学和奥地利的维也纳大学。在那里门杰指导他学了一些统计学和经济学。1938年德寇侵战奥地利，沃尔德被送进集中营。不久，美国设法把他营救出来，并让他移居美国。
沃尔德用他以前学得的经济和统计学知识在大经济学家摩根斯顿那里工作。沃尔德以前是研究纯粹数学的，到美国才转搞统计。在第二次世界大战期间，他首创序贯分析法与决策函数理论，开创统计学的新局面。
1950年沃尔德因飞机失事不幸在印度遇难，当时只有48岁。他从事统计研究工作也只有12年。
序贯分析法在战后获得巨大发展。沃尔德的决策函数理论也赢得了广泛的赞誉。人们把他看作20世纪最杰出的统计学家之一。
引人注目的广泛应用
近几十年来，数理统计的广泛应用是非常引人注目的。在社会科学中，选举人对政府的意见调查、民意测验、经济价值的评估、产品销路的预测、犯罪案件的侦破等，都有数理统计的功劳。
在自然科学、军事科学、工农业生产、医疗卫生等领域，没有一个门类能离开数理统计。
具体地说，与人们生活有关的如某种食品营养价值高低的调查；通过用户对家用电器性能指标及使用情况的调查，得到全国某种家用电器的上榜品牌排名情况；一种药品对某种疾病的治疗效果的观察评价等都是利用数理统计方法来实现的。
飞机、舰艇、卫星、电脑及其他精密仪器的制造需要成千上万个零部件来完成，而这些零件的寿命长短、性能好坏均要用数理统计的方法进行检验才能获得。
在经济领域，从某种商品未来的销售情况预测到某个城市整个商业销售的预测，甚至整个国家国民经济状况预测及发展计划的制定都要用到数理统计知识。
数理统计用处之大不胜枚举。可以这么说，现代人的生活、科学的发展都离不开数理统计。从某种意义上来讲，数理统计在一个国家中的应用程度标志着这个国家的科学水平。
难怪在谈到数理统计的应用时，有人称赞它的用途像水银落地一样无孔不入，这恐怕并非言过其实。
几何改革出新路
几何，其严密的逻辑推理使人信服，其精巧的思维方法令人陶醉。它以其独特的魅力吸引着众多的数学爱好者。两千多年以来，一直统治几何学的传统证题方法，在当代计算机参与下受到了挑战，从而使几何证题又出现了一条新路。
机械证明的创立
利用机械进行运算的想法，最早可以追溯到中国古代数学。中国古算以算法为中心，注重计算技术的提高，与古希腊及其延续的数学公理化和演绎推理的传统迥然不同。从实际问题出发，建立算法的机械化一直是古代中国数学研究的传统，也是中国数学家所努力的方向和孜孜以求的目标。成书于公元前l世纪的数学名著《九章算术》，是中国算法机械化的光辉典范。
《九章算术》中解决问题的方法，不是公理化的演绎法，而是按照一定的程序运算获得结果，算法化、程序化很强，即使求解几何问题也是如此。17世纪中叶，笛卡尔有过类似的思想，可惜他的设想未能实现。
近代的机器证明思想由莱布尼茨首先提出。他设想过数学领域的推理机器，并认识到这一计划的重要性。但是，莱布尼茨并没有能实际地去实现自己的计划。到了19世纪末，希尔伯特等创立并发展了数理逻辑，为定理证明机械化提供了一个强有力的工具，使这一设想有了明确的数学形式。
20世纪40年代，电子计算机的出现才使前人设想的实现有了现实可能性。到50年代，机器证明开始兴起为一个数学领域。人们试图把人证明定理的过程，通过一套符号体系加以形式化，变成一系列在计算机上自动实现的符号计算过程。数学家们首先从最古老而不太复杂的欧氏几何开刀。
我们知道，欧氏几何学中的许多性质、定理，通过观察图形或实验并不难了解，但要给出严格的证明，有时就非常困难。数学家和计算机专家瞄准这一崭新领域开始进军了。根据计算机高速运算能力和程序化过程，对几何命题的逻辑关系进行连接。1950年波兰数理逻辑学家塔斯基断言一切初等几何和初等代数范围内的命题，都可以用机械化方法判断其真伪，这使人们很受鼓舞。1956年，美国人纽厄尔、西蒙和肖乌等人通过研究证明定理的心理过程，建立了机器证明的启发式搜索法，编制了一个“逻辑理论机”程序，用计算机成功地证明了38条定理。这一年被看作历史上计算机证明以至于人工智能研究的开端。1959年，美国洛克菲勒大学数理逻辑学家王浩教授设计了一个用计算机证明定理的程序，计算机只用了9分钟，就证明了350多条并不简单的定理。
1975年以后，数学家创立新理论，开创新方法，开始了计算机证明世界数学难题。1976年6月，美国数学家阿佩尔和哈肯等人用高速计算机工作了1200小时，向全世界宣布证明了困扰数学界百余年的“四色猜想”难题，轰动世界，震撼全球，从中初步摸索了一些规律和途径。
中国人的骄傲
1976年，中国科学院院士、中国科学院系统科学研究所研究员吴文俊教授，已经在拓扑学、几何学、数学史方面作出了卓越成就以后，开始了从事数学机械化尖端科学的研究。他发现《九章算术》的许多数学题都可以编成程序用计算机解答。在此基础上，他分析了法国数学家笛卡尔的数学思想，又深入探讨希尔伯特《几何基础》一书隐藏的构造性思想，开拓了机械化数学的崭新领域。
他的思路是把几何问题转变为代数问题，再按程序消去约束元或降低约束元的次数，使问题得到解决。
按照这一思路，他编写了一种新程序，然后在一台档次很低的计算机上，几秒钟就证明了像西孟孙线那样不简单的定理，并陆续证明了100多条几何定理。他的算法被誉为“吴氏方法”。数学家周咸青应用吴氏方法也证明了600多条定理。这一新方法引起了科学界的高度关注。1978年初，吴文俊又把他的方法推广到高深数学分支——微分几何定理机械化的证明，走出完全是中国人自己开拓的新数学道路。
在几何定理机械证明取得重大成功之后，20世纪到80年代，吴教授把研究重点转移到数学机械化的核心问题——方程求解上来，又取得了重大成功。这时，他不仅建立数学机械化证明的基础，而且扩张成广泛的数学机械化纲领，解决一系列理论及实际问题。他把机器定理证明的范围推广到非欧几何、仿射几何、圆几何、线几何、球几何等领域，他的成果在国际上产生了很大反响。
消点法震惊了世界
数学命题种类繁多，不可能所有的数学命题都能一下子得到解决，于是有不少科学家研究更新的证明方法。
1991年，中国科学院成都计算机应用研究所研究员张景中及杨路等人发明了“L类几何定理证明器”，它可以在一台简单的电脑上判断命题的正误，也是用代数方法进行论证的。这些方法还不尽如人意，计算机只能判断命题的真假，并且计算过程很复杂，人们难以检验其是否正确。1992年5月，张景中、周咸青和周小山在面积方法的基础上发明了“消点法”，编成了世界上第一个“几何定理可读证明的自动生成”软件。“消点法”把证明与作图联系起来，把几何推理与代数演算联系起来，使几何解题的逻辑性更强了。运用这一方法在微机上可以证明很多几何定理，并通过屏幕显示出证明的过程。这在当时是世界上最新、最好的几何定理证明软件。他们在电脑上证明了600多条较难的平面几何与立体几何定理。专家认为，这种证明方法，大多数是简捷而易理解的，甚至比数学家给的证明还要简短、实用。
“消点法”震惊了世界，它使机械证明定理上了一个新台阶。但是，“消点法”还不是证明几何题的通法，它主要是解决与面积有关的一些命题，而像几何作图、几何不等式、添加辅助线等问题尚未取得令人满意的成果。因此，“消点法”还不是机器证明几何定理的终点，这一问题有待于进一步探讨。
用电脑证明几何题，使几何学改变了从古希腊到现在一直沿用逻辑推证的传统方法，把逻辑思维才能获得定性化结论的问题，转化成通过计算能解决的定量化问题。由于实现了程序化、机械化，从而降低了几何学的难度。这不仅使几何学在电子信息社会获得新发展有了可能，而且有利于解决几何与其他数学难题，将会使几何学对人类社会发展的贡献越来越大。