胆大心细巧构函数，八仙过海各显神通——2019年浙江卷最后一题压轴赏析

文：浙江嵊州袁利江

（1）解法参考

当然这里也导函数也可以不通分直接解不等式，即：

（2）解法一：必要条件来引路，巧建函数

本解法是命题组给出的参考答案

解法二：必要条件来引路，反客为主常规路

处理方式一：

处理方式二：

本解法参考了浙江杭州袁理的解法

解法三：必要条件来引路，求根公式巧搭路

解题教师：陆建军老师

解法四：必要条件来引路，借力打力巧化难

解题教师：本解法参考了辽宁沈阳王海刚的解法

解法五：必要条件来引路，换元转化归最值

本解法参考了湖北十堰市叶老师给出的解法．

评价与赏析：

本题第一问是常规性问题；第二问为含参不等式的恒成立问题，与以往考题的不同考法之处是不好直接参变分离求解（一定条件下可借助求根公式来分离），从而使得试题的难题直线上升．上述提供的五种解法都是先利用必要条件来探路，即获得参数a的一个压缩范围，从而把求解问题转化为一个证明问题，这是解题的关键一环；

同时所有方法都体现出对考生的逻辑推理和运算求解能力的理性思维的较高要求，需要考生胆大（常规方法敢落笔）心细（烦琐运算心不烦）；不同之处在于函数的构建方式与运算处理方式各显神通。

解法一（标准答案）是反客为主，并构建以1/a为自变量的二次函数，二个好处：一是遇见lnx时用“孤立”简化求导，二是二次函数系数符号确定，然后对函数对称轴是否在区间内寻找分类讨论的界点，逐级讨论分步求解，思路常规；

解法二是把原函数先转化为看作关于a的函数，其余解法同解法一，相比解法二，从解题过程来看，运算量要大一些，分类应二次项前的系数符号不确定变得更为复杂，导致运算量也随之增加且更复杂一些；解法一与解法二的处理一都存在一个大的“困难”，那就是等式

如何变形得到？解法二的处理二给出了一个很好的视角，巧用基本不等式来化解难点，容易理解，适宜教学；

解法三则是利用求根公式得到1/a与x的关系式，而不是像方法一、二那样利用函数思想实现消元；

解法四则是借用了几个对数函数不等式来牵线搭桥，借力打力，构思巧妙，当表现出较强的技巧性，平常人难以驾驭；

解法五与解法三处理方式雷同，只是在最后一步处理的方式上有所差异，其优点在于换元转化到位，通过对多个数学量的换元使得运算过程变得简单，思路清晰．

含参的函数不等式恒成立问题是历年高考中难点与热点，其解题策略还是要以常规策略为主，即转化为最值问题处理，参变分离法其实最终也是归结为最值问题处理，难点在于转化的视角与途径，上述的五个解法从五个不同的层面提供了此类型的解题策略，值得借鉴。