源于高考的竞赛题—— 圆锥曲线系列讲义之22抛物线11

本文再讲解两个圆和抛物线公切线的问题。

2019年高中数学联赛一试的第10题如下：

此题图形简洁明了、结论优美，结构比较常见，思路很多，但是解决起来都不是很简单，是一个难得的好题。

其解决思路主要是两大类，要么着重用代数计算，要么着重用几何意义（因为公切点及抛物线焦点的几何性质很丰富），当然最终还是要数形结合，综合运用代数和几何知识解决。

思路一：

设出圆心和A点坐标，依题意圆和抛物线在A处有共同的切线，由垂直和CA=r列出两个方程，解出两个未知数即可。

思路二：

联立圆和椭圆，消去x，用y表示出r,依题意r为此表达式的最小值，求导或者不等式求出此最值即可。

解法二（参考答案的方法）：

思路三：

利用抛物线和圆的几何性质，

可得△BAF为等边三角形，由此即可求出r。

解法三：

设切线交x轴于B,A在x轴上投影为D，

C在AD上投影为E。

由BA,BF为圆的切线知BA=BF,

由本系列第14讲(《抛物线3——圆锥曲线讲义之十四》)第10题知FB=FA且OD=OB,

故△BAF为等边三角形且FD=DO,

故CE=FD=2/3,

又∠CAE=60°,

注：

(1)上述三种解法各有千秋，殊途同归。不过比较而言，第一种解法更自然也最简洁。第二种方法虽然好想到，但是联立消去y后不太好处理，只有想到r为其最值才能入手，求最值时上述均值不等式结果不太好凑出来，当然也可以用导数得到。解法三充分利用第10题的结果，得到等边三角形后也可以由斜率求出A点坐标，不过那样计算会麻烦不少。只需继续使用第10题得到FD即可求出r。解法三计算量最小，但是要用到几何性质，而且如果圆和x轴的切点不是焦点就没法处理了。

(2)本题也能推广到一般的抛物线中，如果和x轴切点为焦点，则结果比较漂亮。如果不是焦点，也能解出答案，不过有点复杂，有兴趣的读者可以自行研究。

(3)一般此类圆锥曲线间相切的问题都可以设出切点，用解法一得到他们有共同的切线，可以统一处理。

无独有偶，圆锥曲线间相切的此类问题在高考和竞赛中屡见不鲜，下面看一下本题的一个源头：2012年高考大纲卷的21题.

思路分析：

设出A的坐标，求导得到过A的抛物线斜率，由圆和抛物线有共同的切线知MA和切线垂直，由此列出方程解出A坐标即可求出r。然后得到抛物线切线方程，由其和圆相切由点到直线距离公式得到等式，联立抛物线两条切线得到D点表达式，带入即得解出D点坐标，最后求出D到l距离即可。

注：

(1) 本题是一个精妙的抛物线和圆相切的问题，首先必须利用切线斜率和MA垂直得到一个等式。下面难点是解方程。不过本题设计的很巧合，方程的根为0，这就大大降低了难度。

第二问必须设出抛物线切点，得到切线的一般方程，由其和圆相切得到圆心到直线距离为r。下一个难点还是在于展开并求解此四次方程。好在此方程有两个解都是0。这就化为二次方程就能很容易解得了，当然这并不是巧合，因为一般的圆和抛物线会有四条公切线，而由第一问得到两条内功切线重合，而且切点横坐标为0，所以在解此四次方程的时候就能知道他必然有两个零根，否则一定计算出错了。还有本题中不需要计算出另外两个抛物线切点的横坐标，因为D的坐标只和两根和及积有关，所以利用韦达定理能降低计算量。

(2) 比较而言，此题虽然是高考题，但是其难度是高于第一题的联赛题的。所以我一直在说在解析几何题上，竞赛和高考之间没有严格的界限，高考题可以作为竞赛题，竞赛题也可以作为高考题，你中有我，我中有你。很多时候高考解析几何题的难度还会高于联赛试题。

(3) 当然利用这个套路，本题还可以提升难度，利用把切点的坐标设计的更一般一点，利用其横坐标可以为1，2等。这样第一问就要解一个三次方程，必须通过试根来分解因式。这样就能作为一个难度较高的竞赛试题了。而且第二问中的四次方程，必然有两个根均为第一问中的结果，所以也要合理的分解因式，难度就大大的增加了。当然更一般的，如果此三次方程没有有理根，第一问三次方程就没法解了。虽然理论上讲，三次方程也有求根公式（一般称为卡丹公式），不过因为过于复杂，在高考和竞赛中几乎从来没有考过一般的三次方程的解。所以我们在高考或者竞赛中如果遇到解整系数三次方程，几乎必然是存在整数根的，根几乎必然在0,±1，±2，±3中，如果没有这些根，估计你就计算出错了。

本文又讲解了两个圆和抛物线公切线的问题，此类问题一般是比较困难的，不过一般的两个曲线有唯一公共点的问题的套路都是设出切点坐标，然后由他们有共同的切线得出方程，解方程即可。

这样抛物线系列文章基本告一段落了。后面再写双曲线有关的文章。