43：运筹帷幄-排列组合问题
概率统计专题43：运筹帷幄 - 排列组合问题
排列组合问题是历年高考的热点问题。理解排列组合的概念,理解排列数公式、组合数公式并且能利用公式解决一些简单的实际问题。
基础知识:
处理排列组合问题的常用思路:
特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要求的元素。
例如:用0,1,2,3,4,5,组成无重复数字的五位数,共有多少种排法?
寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如:在
件产品中,有7件合格品，
件次品。从这
件产品中任意抽出
件,至少有
件次品的情况有多少种？
先取再排(先分组再排列):排列数
是指从
个元素中取出
个元素,再将这
个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。
例如:从
名男生和名女生中选
人,分别从事
项不同的工作,若这
人中只有一名女生,则选派方案有多少种？
排列组合的常见模型：
捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如:
个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法？
解：考虑第一步将甲乙视为一个整体,与其余
个元素排列,则共有
种位置,第二步考虑甲乙自身顺序,有
种位置,所以排法的总数为
种。
插空法:当题目中有“不相邻元素”时,则可考虑用剩余元素“搭台”,不相邻元素进行“插空”,然后再进行各自的排序。
注:(1)要注意在插空的过程中是否可以插在两边
(2)要从题目中判断是否需要各自排序
例如:有
名同学排队,其中甲乙不相邻,则共有多少种不同的排法？
解：考虑剩下四名同学“搭台”,甲乙不相邻,则需要从5个空中选择2个插入进去,即有
种选择,然后四名同学排序,甲乙排序。所以
种。
错位排列:排列好的
个元素,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,则称为这
个元素的一个错位排列。例如对于
,则
是其中一个错位排列。
个元素的错位排列有
种,
个元素的错位排列有
种,
个元素的错位排列有
种。以上三种情况可作为结论记住。
例如:安排
个班的班主任监考这
个班,则其中恰好有
个班主任监考自己班的安排总数有多少种?
解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班,共有
种选法,然后剩下
个班主任均不监考自己班,则为
个元素的错位排列,共
种。所以安排总数为
。
依次插空:如果在
个元素的排列中有
个元素保持相对位置不变,则可以考虑先将这
个元素排好位置,再将
个元素一个个插入到队伍当中(注意每插入一个元素,下一个元素可选择的空
)
例如:已知
个人排队,其中
相对位置不变,则不同的排法有多少种?
解：考虑先将
排好,则
有
个空可以选择,
进入队伍后,
有
个空可以选择,以此类推,
有
种选择,所以方法的总数为
种。
不同元素分组:将
个不同元素放入
个不同的盒中
相同元素分组:将
个相同元素放入
个不同的盒内,且每盒不空,则不同的方法共有
种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”,因为元素相同,所以只需考虑每个盒子里所含元素个数,则可将这
个元素排成一列,共有
个空,使用
个“挡板”进入空档处,则可将这
个元素划分为
个区域,刚好对应那
个盒子。
例如:将
个相同的小球放入到
个不同的盒子里,那么
个小球
个空档,选择
个位置放“挡板”,共有
种可能。
(
全国卷理)从
位女生,
位男生中选
人参加科技比赛,且至少有
位女生入选,则不同的选法共有_____种.(用数字填写答案)
答案：
解析：根据题意,没有女生入选有
种选法, 从
名学生中任意选
人有
种选法, 故至少有
位女生入选,则不同的选法共有
种,故答案是
.
1.某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同排法有( )
A:474种: B:477种: C:462种: D:479种:
2.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A.60 B.48 C.42 D.36
3. 设有编号A,B,C,D,E的五个茶杯和编号为A,B,C,D,E的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有__________种。