如果连三角形都没掌握好，几何就不要想取得高分 / 开普饭

几何作为数学学习当中一块非常重要的学习内容，一直是中考必考的热点知识板块，无论是客观题（选择题和填空题）、解答题，都会有与几何相关的题型出现。

不过，由于几何知识定理众多，加上图形变化多端，证明方法灵活多变，蕴含丰富的数学思想方法，这给很多学生的几何学习带来困难和挑战。

数学学习最大的特点就是强调逻辑性和系统性，几何学习这样的特点更加明显。就像一个人没有掌握好三角形的相关知识，那么不可能学好几何，因为三角形是整个几何王国的重要基础，如四边形的对角线一连就是分成三角形进行解决。

因此，如果你想学好几何，想在几何内容中取得高分，那就必须完全掌握好三角形，特别是在即将到来的暑假，更要好好学习三角形。

三角形是整个初中数学的重点内容之一，也是各地中考命题的必考知识，对三角形三边关系、三角形内角和定理、勾股定理及其逆定理等知识的考查，通常以选择题、填空题、解答题的形式出现。像其中全等三角形的性质和判定、等腰三角形（等边三角形）的性质和判定、直角三角形的性质等知识一直是考查的重点，它通常还会和其他知识结合在一起，以解答题的形式出现。

三角形有关的几何综合内容，典型例题分析1：

某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

解：分三类情况讨论如下：

（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC＝6m，AC＝8m，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB＝10m，将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，此时，AD＝10m，CD＝6m．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m）．

（2）如图2，因为BC＝6m，CD＝4m，所以BD＝AB＝10m，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝√（4²+8²）＝4√5，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为4√5＋10＋10＝20＋4√5（m）．

（3）如图3，设△ABD中DA＝DB，再设CD＝xm，则DA＝(x＋6)m，在Rt△ACD中，由勾股定理得x²＋8²＝(x＋6)²，解得x＝7/3.

∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x＋6)＝80/3（m）．

考点分析：

等腰三角形、直角三角形、勾设定理、分类思想、、设计类问题、分类思想、勾股定理、设计类问题

题干分析：

原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，如图1；二是延长BC至点D，使CD＝4，则BD＝AB＝10，得等腰三角形ABD，如图2；三是作斜边AB的中垂线交BC的延长线于点D，则DA＝DB，得等腰三角形ABD，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．

解题反思：

对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．

三角形有关的几何综合内容，典型例题分析2：

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图③．探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I＝CI．

考点分析：

旋转的性质；全等三角形的判定与性质；几何综合题。

题干分析：

（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；

（2）利用SAS即可判定△AF₁C≌△D₁H₁C，则可得对应线段相等，，即可求得D₁F₁＝AH₁；

（3）首先连接CG₁，利用AAS即可证得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．然后可证得△CG₁F₁≌△CG₁H₁．又由平行线的性质即可求得答案．

解题反思：

此题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，平行线的性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是注意数形结合思想的应用，准确构造辅助线给解题会带来事半功倍的效果．

三角形有关的几何综合内容，典型例题分析3：

如图，已知直线y=﹣x/2+2与抛物线y=a （x+2）²相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l²与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点分析：

二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；计算题。

题干分析：

（1）把x=0代入求出A的坐标，求出直线与抛物线的交点坐标即可；

（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，﹣x/2+2），根据勾股定理求出x即可；

（3）连接AM，求出AM，①当PM=PA时，根据勾股定理得到5x²/4+2x+8=x²+（﹣x/2+2﹣2）²，求出方程的解即可；同理②当PM=AM时，求出P的坐标；③当PA=AM时，求出P的坐标．

解题反思：

本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

三角形有关的几何综合内容，典型例题分析4：

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2√3，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．