【专题提升】菱形存在性问题

本文将继续介绍关于菱形存在性问题的一些内容．

01

问题与方法

作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：

（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边都相等的四边形是菱形．

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

题型归类

（1）2个定点+1个半动点+1个全动点

（2）1个定点+3个半动点

解决问题的方法也可有如下两种：

解题思路

思路1：先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．

思路2：先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．

02

典型例题

如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．

思路1：先平四，再菱形

思路2：先等腰，再菱形

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．

03

真题战场

以下提供一些关于菱形存在性问题的中考题，由衷觉得最好的题库便是中考题了~

2019齐齐哈尔中考删减

【两定两动：坐标轴+平面】

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2019辽阳中考删减

【两定两动：对称轴+平面】

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC=90°，以A为顶点的抛物线y=-x²+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

2018齐齐哈尔中考删减

【两定两动：斜线+平面】

综合与探究

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0），与y轴交于点C，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式

（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

04

你猜存在吗？

存在性问题往往我们都能求出最终的点坐标，以致于可能都忘了当初问的问题是“存在吗？”

真的有不存在的题目吗？

还真有！

2018衡阳中考删减

【两定两动：斜线+抛物线】

如图，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y=-2x²+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由．

为啥不存在？

为什么此题的答案会是不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M、N是定点，P、D虽为动点但仅仅是半动点，且P、D横坐标相同，故本题只需一个字母便可表示出4个点的坐标，对于菱形四个点满足：

若只有1个未知数或2个未知数，便出现方程个数＞未知量个数的情况，就有可能会无解．

方程个数<未知量个数，无法确定有限组解；

方程个数>未知量个数，可能会无解．

特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有1个动点还是有2个动点，都是由其图形本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求可以有3个半动点或者1个全动点+1个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无解的情况．

不难想象，对于正方形来说，可以有4个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正方形，只能在平面中再取另外两动点，即2个全动点，当然，也有可能是1全动+2半动，甚至是4个半动点．

看个类似题巩固一下吧：

练习：（感谢网友“流水”供题）

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x=9/4，点B的坐标为（4，0）．

（1）求抛物线解析式；

（2）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B、C、M、N构成的四边形是菱形，若存在，求出点N坐标，若不存在，请说明理由．

问题本身源于对动点位置的选取导致点坐标中未知量的个数与方程个数不一致，以致出现不存在的情况．

05

一定三动

讲真在翻了一些中考题，并没有看到类似的题型，那我就不客气地编一个吧：

如图，抛物线过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），点C关于抛物线对称轴的对称点为D点，连接AD．点P在抛物线上，点M在直线AD上，点N在抛物线对称轴上，四边形OPMN能否为菱形，若能，求出P点坐标，若不能，说明理由．