“一次函数”的难点学习
目录
一、一次函数的重要性
二、利用函数图像信息解决问题
三、函数中的动点问题
四、一次函数图像与几何变换
一次函数的重要性
一次函数作为初中学生入门级函数，是学生们学习其他函数的基础，也是中考中常考知识点。在近三年安徽中考中一次函数所占分值在12分左右，常与其他函数结合一起考察学生的逻辑能力、数形结合能力、知识综合能力、几何思维等，是一道综合性较强的题目。例如，在2020中考13、22题：
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利用函数图像信息解决问题
方法及技巧
1、正确识别函数图像
2、能从函数图象中提取信息，并能够利用函数图像解决问题
3、方法/解题技巧：
① 理解函数图像横轴、纵轴表示的意义
② 找特殊的点：起点、终点、最高点、最低点、转折点
③ 找点点之间的线段或者曲线段，注意拐点、注意分段函数、注意计量单位统一
相关例题
1．甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
(1)他们都行驶了18千米；
(2)甲在途中停留了0.5 小时；
(3)乙比甲晚出发0.5 小时；
(4)相遇后，甲的速度大于乙的速度；
(5)甲、乙两人同时到达目的地；
(6)乙行驶全程用了1.5小时．
其中，符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】本题考查了函数的图象以及通过函数图象的知信息的能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：根据题意和图象可知：
(1)他们都行驶了18千米．
(2)甲车停留了0.5小时．
(3)乙比甲晚出发了1﹣0.5＝0.5小时．
(4)相遇后甲的速度＜乙的速度．
(5)乙先到达目的地．
(6)乙行驶全程用了1.5小时．
故只有（4）（5）不正确．
故选：C．
2．甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可．
【解答】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；
②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；
⑧甲在停留10分钟之后减慢了行走速度，说法错误；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；
故选：D．
3．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，第27天的日销售利润是( )元．
【分析】此题主要考查了一次函数的应用，由图象上的点利用待定系数法来求直线的解析式是解答的关键．要求第27天的日销售利润，只需要求出27天销售的件数及每一件利润即可，如图，只要求出线段BC，即可求出第27天的销售件数，从图②可看出20至30天的每件利润不变均为5元．即可求解．
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函数中的动点问题
方法及技巧
1、动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这一类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题
2、求解函数图像中的动点问题时，首先要抓住动点的瞬间状态，或者相对静止时的状态，再寻找它们的数量关系，以及几何图形的相对位置关系
3、 方法/解题技巧：
①化动为静：把问的某某秒后的那个时间想象成一个点，然后再去解
②对称性：如果是二次函数的题，一定要注意对称性
③关系法：通过画图，把该要的条件列成一些关系，列出一些代数式、方程等
相关例题
1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（ ）
A．16 B．10 C．18 D．20
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出三角形的面积是本题的关键．根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据三角形的面积公式得出△ABC的面积．
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2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（ ）
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合及正确运用排除法，是解题的关键．根据动点运动的起点位置、关键转折点，结合排除法，可得答案．
【解答】解：∵动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，△CPO的面积为S
∴当t＝0时，OP＝0，故S＝0
∴选项C、D错误；
当t＝3时，点P和点A重合，
∴当点P在从点A运动到点B的过程中，S的值不变，均为12，故排除A，只有选项B符合题意．
故选：B．
3．下列说法中：
①直线y＝﹣2x+4与直线y＝x+1的交点坐标是（1，1）；
②一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＜0，那么它的图象过第一、二、三象限；
③函数y＝﹣6x是一次函数，且y随着x的增大而减小；
④已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为y＝﹣x+6；
⑤在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限；
⑥若一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m＞3；
⑦点A的坐标为（2，0），点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣1，1）；
⑧直线y＝x﹣1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有5个．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．①联立两直线解析式求出交点坐标，即可做出判断；
②利用一次函数的性质判断即可；
③利用一次函数的性质判断即可；
④由两直线平行得到斜率为﹣1，设为y＝﹣x+b，把（8，2）代入求出b的值，即可做出判断；
⑤利用一次函数的性质判断即可；
⑥根据一次函数的性质得到2m﹣6小于0，求出m的范围，即可做出判断；
⑦利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离，利用等腰直角三角形的性质判断得到B的坐标，即可做出判断；
⑧由直线y＝x﹣1，求出A与B坐标，由三角形ABC为等腰三角形判断出C的坐标个数，即可做出判断．
【解答】解：①直线y＝﹣2x+4与直线y＝x+1的交点坐标是（1，2），错误；
②一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＜0，那么它的图象过第一、三、四象限，错误；
③函数y＝﹣6x是一次函数，且y随着x的增大而减小，正确；
④已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为y＝﹣x+10，错误；
⑤在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，正确；
⑥若一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m＜3，错误；
⑦点A的坐标为（2，0），点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（1，﹣1），错误；
⑧直线y＝x﹣1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有7个，错误．
则正确的个数为2个．
故选：A．
4．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为( )．
【分析】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．根据图象②得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【解答】解：从图象②和已知可知：AB＝4，BC＝10﹣4＝6，
所以矩形ABCD的面积是4×6＝24，
故答案为：24．
一次函数图像与几何变换
方法及技巧
方法/解题技巧：
上加下减，左加右减，平移斜率不变
相关例题
1．如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣2x﹣2
C．y＝2x+2 D．y＝﹣2x+2
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．
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2．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m，求出直线y＝2x+m，与直线y＝﹣x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
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3．把直线y＝﹣3x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m、n），且3m+n＝10，则直线AB的解析式（ ）
A．y＝﹣3x﹣5 B．y＝﹣3x﹣10
C．y＝﹣3x+5 D．y＝﹣3x+10
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx+b+m．根据一次函数图象与几何变换可设直线AB的解析式为y＝﹣3x+k，再把点（m，n）代入得n＝﹣3m+k，然后利用3m+n＝10可得到k的值．
【解答】解：设直线y＝﹣3x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y＝﹣3x+k，
把点（m，n）代入得n＝﹣3m+k，解得k＝3m+n，
∵3m+n＝10，
∴k＝10，
∴直线AB的解析式可设为y＝﹣3x+10．
故选：D．
4．直线y＝kx沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为( )．
【分析】本题考查了一次函数图象上与几何变换，属于基础题，关键是表示出三角形的面积，然后求解．由直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，可得B点的坐标，根据三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：直线y＝kx沿着y轴向上平移b个单位后，得到y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，
∴﹣2k+b＝0，B（0，b），
△ABO的面积是：×2×b＝4，
解得b＝4．
故答案为4．