量子理论的诞生和发展（28）：规范场论的故事
作者：张天蓉
规范场论中的几位物理大师
和量子物理类似，规范场论并非是哪一个人的独创，而是由许多位大师级科学家共同接力创作的用数学理论描写物理过程的真与美的结合。
1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中，首次发表了万有引力定律，将地上的重量和天上星体间的作用力统一在一起。从那个时候开始，物理学家就做起了“统一梦”：企图将万事万物统一在一个单一物理理论的框架中。按照还原论的观点，追踪万事万物最后都可以归结为若干“基本粒子”以及这些粒子之间的“相互作用”。
迄今为止，物理学公认了粒子若干，而基本相互作用只有4种：引力、电磁力、弱相互作用和强相互作用。规范场论就是描述相互作用的基本理论。相对于基本粒子标准模型而言，规范场论本身就好比是一种“胶子”作用的功能。
现在一般认为，最早提出规范理论概念的是德国数学家及物理学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl，1885-1955）。他曾经履职苏黎世联邦理工学院数学系系主任，在那里和年长几岁的爱因斯坦是同事。受爱因斯坦的影响，他于1918年撰写《时间、空间、物质》回溯了相对论物理的发展。同年，外尔引入规范（gauge，即尺度变换）的概念，并给出了规范理论最早的例子。
作为数学家多少有几分诗人气质。外尔遨游在数学王国，长期受数学美之熏陶，时不时会冒出几句诗意的话语。他曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述他自己被他的偶像爱因斯坦批评之后感觉失望、迷茫的心态。那是外尔研究统一场论时的一段故事。
外尔提出规范概念与他追求“对称统一美”有关。他特别欣赏自然界的对称美。上世纪50年代初，他在普林斯顿大学作过一系列有关对称的演讲，后来还写成一本名为《对称》的科普小书，广受读者欢迎。
和爱因斯坦一样，外尔也是在纳粹执政后避难于美国成为普林斯顿高等研究院早期的重要成员。由于爱因斯坦追求统一场论数年未果，外尔企图将爱因斯坦有关统一的想法在某种程度上数学化。他用规范变换做了尝试：用时空的几何性质来统一描述电磁场和引力场。尽管是一个不成功的错误模型，但外尔的尝试却如同道尔顿最早提出原子模型一样，开启了规范场理论进入物理学的大门。
自然界存在四种相互作用，其中强、弱相互作用仅存在于微观世界，我们能直接感知的只有引力和电磁力。外尔深感广义相对论、麦克斯韦电磁理论既真又美，首先想到的便是用他欣赏的规范理论将引力和电磁力这两者统一起来。
“统一”就是要寻求不同理论之间的某种对称性，而规范不变便是系统的某种内在对称性的数学表达。但对称在某种变换下不变所表述的变量具有冗余性，出现某些多余的东西。
例如雪花的形状是六角对称的，当它旋转60度、120度、180度等角度时（或者说是从不同的角度去看），它的形状不变，因而可以只用它1/6的形状便能描述整体。按照这样的道理，物理理论中的某种内在对称就可以描述为“规范不变”。然而“规范不变”在物理理论中具有冗余性，一个典型通俗的例子便是电路中的“电压”。显然，电力系统对绝对电压值的“平移”具有对称性。但另一方面，人们知道220伏的交流电可以导致人触电伤亡，而小鸟立于几万伏的高压线上却似乎一点危险也没有。这说明用绝对的电压值来描述电力系统在某种情况下可能是多余的。绝对电压相对于小鸟的两个脚V1和V2不是真正起作用的物理量，两点之间的电压差V=V1-V2才具有实在的物理效应。因此，用两个数值（V1、V2）来表示系统的危险性是多余的，有一个数值V就足够了。电路中（包括电子线路）设计一根“接地”线也是这个道理。
除了“电压具有平移规范对称性”，重力场也具有类似的平移规范对称性。比如，父母们不太在乎小孩从他们五楼房间的床上往地板上跳，却不能容许孩子从五楼的平台跳到楼下的草地上。这是因为重力场的物理效应一般可以不管“绝对高度”，关键在于高度的相对差距。
根据麦克斯韦电磁理论，电磁场可以用电场E和磁场H来描述，也可以用考虑相对论效应的4维电磁势A来更为方便地描述。但是，只有电场和磁场才与物理效应直接相关，而电磁势与物理效应不存在一一对应，属于理论上的冗余。就像“绝对电压”不能电死鸟儿一样，电磁势的值不完全等效于物理作用。事实上，经典电磁理论对于同样的电场和磁场，其电磁势A不是唯一的，如果四维电磁势A作如下规范变换时，电场E和磁场H保持不变：
A → A − ∂ θ(x) （1）
其中θ是一个任意函数，这说明对于描述同样的电磁场，四维矢量势A不唯一。也就是规范变换对于电磁系统用4维矢量势来表述电磁场是一种冗余。
外尔认为可以利用电磁势的冗余性。他的做法是：当四维电磁势A作如（1）的规范变换时，给广义相对论的时空黎曼度规乘上一个尺度（规范）因子 λ(x) = eθ(x) ：
gij → eθ(x) gij . （2）
如此得来的“新度规”，在形式上可以包容电磁场，数学上看起来也非常美妙，视乎闪耀着新思想的火花。然而，当他兴致勃勃地将他的文章寄给爱因斯坦后，得到的反馈却不怎么的。爱因斯坦一方面赞赏外尔的设想是“天才之作、神来之笔”，一方面又从物理的角度强烈批评他的文章脱离了物理的真实性。外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ(x)，这相当于在4维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位，也就是有任意不同标度的钟与尺，这在物理上是不可能被接受的。因此，外尔企图统一电磁和引力的模型失败了，尽管它具有数学之美，却失去了物理之真。
爱因斯坦的反对意见虽然使外尔失望，却也激励了他进一步求真求美的兴趣。他的好友薛定谔对量子力学的研究也深深影响了他。后来，外尔带着“量子”的新武器重返规范场课题，将他原来的理论作了如下两点改变：
1. 规范变换不是作用在度规张量gij上，而是作用在电子标量场f上；
2. 变换中尺度因子的指数乘了一个i，也就是-1的平方根。
这一次，聪明的外尔回避了“老大难”的引力场统一问题，转而研究电磁场和电子的相互作用。他将原来的规范因子乘以虚数i，使之成了电子波的“相”因子，意味着引入电子的波动性进入了量子力学。于是，外尔的电磁规范变换成为以下由两个变换组成的联合运算：
f → eiqθ(x)f ， A → A − iq∂θ(x). （3）
经典规范变换和量子规范变换之比较
从图中可以看出，经典电磁场的规范变换只是电磁势A在变换，使得E和B的变化引起电子所受作用力F发生变化，但电子完全处于被动不变的位置。量子理论中的规范变换则把电子场f的相因子变换与电磁势A的补偿变换结合起来了，电子不再是被动的，而是电子场与电磁场通过相互作用两者一起变换。
改进后的外尔规范理论没有了爱因斯坦当年所批评的“钟和尺”不确定的问题，能够成功地应用于量子电动力学中。其中电子场f可以看成是波函数f(x)的电子几率幅，其绝对值的平方是电子在时空中某一点出现的几率，而复数相位的绝对大小没有物理意义，有意义的只是不同时空点之间的相位差，它影响到几率波的干涉效应。将几率幅乘上一个相因子eiqθ(x)，意味着几率幅的相位变化一个角度qθ(x)，对计算几率没有丝毫影响。
在规范变换作用下，如果能使得物理规律保持不变而引入的场，被称之为规范场。如果物理规律符合量子理论，便是量子化的规范场。因此，符合变换（3）的电磁场是第一个量子规范场。根据诺特定理，对称与守恒相对应。量子化电磁场的规范不变对称性，对应于电荷（q）守恒定律。如果用群论表示，相因子对称就是U(1)群对称。而酉群U(1)是1维复数群，与实数2维空间的旋转群SO(2)同构，即电磁规范场符合U(1)对称，或旋转对称。
二维旋转U(1)是可交换的，被称为阿贝尔群。但大多数对称性对应的是更为复杂的、不能交换顺序的非阿贝尔群。例如，三维旋转群就是不能交换顺序的“非阿贝尔”群。当物理学家们试图将电磁规范场推广到另外两种相互作用（强、弱）时，便碰到了非阿贝尔规范场带来的困难。后来，杨振宁和米尔斯研究这个问题终于有了突破性进展。
那是在1949年春天，外尔退休后已经离开了普林斯顿。这一年，杨振宁（Chen-Ning Franklin Yang，1922-）前往普林斯顿高等研究院不仅接租了外尔的房子，还接替了外尔在理论物理上的位置。按戴森的说法，他成为了理论物理界的一只领头鸟。
与外尔相同，杨振宁也注重追求物理真及数学美。
四种相互作用中的电磁力和引力是长程力，作用范围大；另外两种是短程力，只表现于微观世界。beta衰变中存在着弱力，费米曾在1930年代对其作出了最早的描述。对强相互作用的认识始于1947年发现了与核子作用的π介子及其它“强子”。强作用是指核子（质子或中子）之间的核力，它比弱相互作用的力程长（约为10-15m），作用强度最大（是电磁力的137倍），能够使核子结合成原子核。
当强相互作用被认识之后，立马成为研究者的首选。由于强作用比其它三种基本作用有更大的对称性，需要用新的理论方法来进行解释。这正好符合杨振宁要推广规范场的想法。
到了1953-1954年，杨振宁暂时离开高等研究院到纽约长岛的布鲁克海文实验室工作一段时期。在那里他和来自哥伦比亚大学的博士生米尔斯使用同一个办公室。当时除了布鲁克海文实验室发现新粒子，世界各地也不断传来多种介子被陆续发现的消息。这使得杨振宁感到迫切需要寻找一个描述粒子间相互作用的有效理论。他和米尔斯清楚地意识到描述同位旋对称性的SU(2)是一种“非阿贝尔群”，与外尔的电磁规范理论的对称性U(1)完全不同，因而需要不同的数学运算。
比如，将四维电磁矢量势A推广到他们设想的杨-米尔斯场可用B来表示。A是电子场的势，B是杨-米尔斯场的势。这样，杨-米尔斯场描述的对象是两个分量的同位旋，与其相对应的B就不是原来类似A的矢量场了，而是成为2x2的矩阵场B。二维矩阵不对易，在相应的张量Fmn表达式中需要加上一项对易子（见图）。
从电磁规范场到非阿贝尔规范场
据杨振宁后来回忆，当他和米尔斯认识到需要加上对易子一项时，“我们知道我们挖到宝贝了！”。正是因为两人卓有成效的合作，他们在《物理评论》上接连发表了两篇论文，提出了著名的杨-米尔斯规范场论。
1954年2月，杨-米的论文尚未寄出，杨振宁应邀到普林斯顿研究院作报告。那年正逢泡利在高研院工作一年，当杨在黑板上写下他们将A推广到B的第一个公式时，“上帝鞭子”开始发言了：“这个B场对应的质量是多少？”泡利的发问急得杨振宁一身冷汗，因为这个问题一针见血地点到了“死穴”。随后泡利又问了一遍同样的问题，杨只好支支吾吾地说事情很复杂。泡利听了便冒出一句他常用的妙语：“这是个很不充分的借口”。这场景使杨振宁分外尴尬，几乎无非继续报告下去。幸亏主持人奥本海墨出来打圆场，泡利方才作罢。
泡利的评论说明他当时已经思考过推广规范场到强弱相互作用的问题，并且意识到了规范理论中有一个不那么容易解决的质量难点。因为规范理论中的传播子都是没有质量的，不然就不能保持规范不变。在电磁规范场理论中，作用的传播子是光子，而光子正好没有质量。但强相互作用不同于电磁力，电磁力是远程力，强弱相互作用都是短程力，短程力的传播粒子一定有质量，这便是泡利当时所提出的问题。正是这个质量难题，让规范理论退出舞台默默等待了20年，直到希格斯机制的提出和希格斯玻色子被发现才最终解决了这个质量问题。
杨-米尔斯理论的原意是要解决强相互作用问题，尽管这个目的没有立即达到，但却构造了一个非阿贝尔规范场的模型，为所有已知粒子及其相互作用提供了一个框架和基础。
史蒂芬·温伯格（Steven Weinberg）与他的中学同班同学谢尔顿·格拉肖（Sheldon Glashow），还有阿卜杜斯·萨拉姆（Abdus Salam）一起，用规范理论解决了弱电统一U(1) *SU(2)。他们因此共同获得1979年诺贝尔物理学奖。
类似于量子电动力学(QED)，强相互作用可被基于SU(3)规范对称性的量子色动力学 (QCD)描述。至此，在众多物理学家的努力下，按照规范理论将除引力之外的电磁及弱强作用统一起来，即实现了对称群U(1) *SU(2)*SU(3)的统一，并在此基础上建立了标准模型。
杨-米尔斯（Yang-Mills）规范理论不仅是物理学中标准模型的基础，还颇受数学家们的青睐，对于纯粹数学的发展也起到了一定的推动作用。规范场论中的规范势，恰是数学家在20世纪30～40年代以来深入研究过的纤维丛上的联络。这个联系激起数学家对规范场方程进行了许多深入的研究。
迈克尔·阿蒂亚爵士（Michael Atiyah，1929-2019）是英国黎巴嫩裔，他在1966年荣获菲尔兹奖，被誉为当代最伟大的数学家之一。阿蒂亚的早期工作主要集中在代数几何领域。70年代后他的兴趣转向规范场论，着力研究瞬子和磁单极子的数学性质。他出版的专题文集《杨-米尔斯场的几何学》(Geometry of Yang-Mills Fields)，使众多数学家对规范场日益重视。近30年来，他对低维拓扑和无穷维流形几何的研究对量子场论和弦理论有着深刻影响。
爱德华·威滕是理论物理学家，他同样获得过菲尔兹奖。威滕所做的理论物理研究也和杨-米尔斯场有关。他对物理统一理论（弦论）所做出的杰出贡献就是另外的话题了。