数学刷题刷对了题，就像开了挂，成绩好又学得轻松

正方形既是一种特殊的平行四边形，又是一种特殊的矩形，也是一种特殊的菱形，“特殊性”如此强的图形，自然是数学学习的重点和考试的热点。以正方形为载体的中考题，往往以基础知识、基本技能、基本数学思想和基本数学活动经验为依托，考查考生运用基础知识分析、解决问题的能力。

要想准确解决正方形有关的题型，应灵活利用以下这些基本性质：

正方形的对边平行，四条边都相等；

正方形的四个角都是直角；

正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角且是正方形的对称轴。

正方形有关的综合题型历来都是中考数学的热点题型，倍受中考命题老师的青睐。在全国各地的中考数学试卷中，正方形有关的中考试题，其立意新颖，融合了几何与代数于一体，蕴含数形结合思想方法，有较强的综合性。

就像这道中考试题，就是一道综合性较强的试题，一起来看看。

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．

考点分析：

正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。

题干分析：

（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。

（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，从而可得GE=BE+GD。

（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE²=AD²+AE²，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。

​正方形是最特殊的四边形，它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。因此，与正方形有关的问题一直是中考命题的热点，其题型有选择题、填空题、解答题和操作题等。

近年来中考数学对正方形的考查成为平面几何的热点，而正方形中“一线三直角”模型应用非常广泛。首先要讲清模型的条件与本质，再通过变式训练，学会在复杂背景下识别并灵活地应用模型，从而很好地培养学生思维的概括性和灵活性，最终提高学生的数学成绩和数学素养。

如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2

（1）求EC：CF值；

（2）延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；

（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。

考点分析：

相似三角形的判定和性质，正方形的性质，外角平分线定义，全等三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定。

题干分析：

（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，即可证得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EC：CF的值.

（2）作辅助线：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用ASA，易证得：△AME≌△PCE，则可证得：AE=EP。

（3）过点D作DM⊥AE交AB于点M，此时M使得四边形DMEP是平行四边形。一方面由△BAE≌△ADM（ASA）得AD=DM；另一方面由DM⊥AE，AE⊥EF得DM∥ EP。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。

正方形是最特殊的四边形，故一个四边形要成为正方形，限制条件也最多。这就导致正方形有关的试题综合性较强，解法灵活，这就要求我们在答题时要认真审题，写好步骤，明确已具备了什么条件，弄清还缺少哪些条件。

另外，还要注意一点，纵观近年来各地的中考数学试题，可看出折叠问题很受命题者的青睐，已成为热点题型之一。解答此类问题，要掌握正方形等特殊四边形的性质，明确对折前后的两部分是关于折痕所在的直线对称的，很可能需要运用方程思想利用勾股定理等建立方程或方程组，才能解决问题。