【TED】理解世界的秘诀：数学 (换个角度看世界)
跟着罗杰·安东森一起，通过最具想象力的艺术形式 —— 数学，揭秘世界的奥秘和内部运转本质。他向我们解释，细微的角度变化能帮我们理解模式、数字和公式，并指引我们通向与人共鸣和理解万物的大门。
大家好！
我想谈谈理解和理解的本质。
理解到底是什么？
因为我们都在追求理解，我们想理解世间万物。我认为理解是一种能力，转变（固有）观点的能力，如果我们缺乏它，就说明我们缺乏理解力，这是我的结论。
我想重点讲讲数学。很多人认为，数学就是加、减、乘、除、分数、百分数、几何、代数等等。但今天，我也想讲讲数学的本质。
我的观点是，数学跟模式有关。在我身后，是一个美丽的图案，而这个图案，实际上是通过特定方式，不断画圆组成的。所以我对数学有一个的定义非常直白：首先，数学的关键是寻找模式。这里的模式指的是某种联系、结构，或者规律、规则，这些东西控制了我们所见的事物；其次，我认为数学是一种语言，用来描述各种模式。如果没有现成的语言，就需要创造一种。在数学中，这点尤为重要。
同时，数学也需要进行假设。对假设进行多方验证，看看结果如何。我们一会儿就会这么做。
最后，数学可以用来做很酷的事情，能帮我们完成很多事。
下面我们来看一些模式：
如果你想系领带，会有很多种样式，每一种都有名字，因此领带结也包含数学。这是从左侧绕出，右侧绕入，中间抽出然后系紧的东方结；这是从左侧绕入，右侧绕出，再左侧绕入，中间抽出，最后系紧的四手结。这就是我们专门为领带结创造的语言。最后还有半温莎结。
这是一本关于系鞋带的数学书，大学级别的。因为系鞋带也有很多种模式，你可以用成千上万种方式来系鞋带，我们可以进行分析。然后为系鞋带也创造一种语言，这些都可以用数学方法来表达。
这是莱布尼茨在1675年使用的符号，他创造了一种语言，来描述自然界的模式。
当我们把物品抛向空中，它会掉下来，为什么？我们并不确定。但我们可以用数学把其归结成一种模式，这也是一种模式，是一种被发明的语言。
你能猜到这是什么吗？这是一套表示舞蹈动作的符号，踢踏舞，这能让舞蹈编排者编一些炫酷的，新的动作，因为他能用符号来描述动作。
请大家想一想，表达是多么神奇的东西！
这里写的是“数学”这个词，实际上就是一些点，对吧？一些点怎么能表示单词呢？
确实可以。他们代表了单词“数学”。
这些符号也一样。
这次我们可以用听的，听起来就像这样。。。可以说，这些声音也代表了这个词和它的含义。
这是怎么做到的呢？
表达是一种很神奇的过程。所以我想跟你们讨论一下在表达过程中，发生的神奇的事情。
现在你们看到的，只是不同宽度的线条，这些线条代表了一本书，强烈推荐这本书，非常不错！真的，不骗你们！
好吧，让我们来做一个实验，来玩一下直线。
这是一条直线，再画另外一条，每一次我们都往下、往右移动一格，画出一条新的直线，如此反复，从中寻找一种模式，我们得到了这个图案，是一个非常好看的图案，它看起来就像一道弧，对吧？我们仅仅画了些简单的直线。
现在，稍微改变一下角度，旋转一下。再看这段弧，像什么？是不是像圆的一部分？其实它不是圆的一部分，所以我继续探寻，找出真正的模式，也许我可以复制它，画一幅画？好像不行。也许我应该延长这些线条，再来寻找模式，再多画一些线条，然后这样，把它缩小，再变换角度，然后我们就会发现，开始的直线，变成了抛物线，这可以用一个简单的等式表达。很美的图案！
这就是我们所做的——找到某种模式，然后表达出来。这是一种很直白的定义。但是今天，我想讨论得更深入一些，思考它们的本质是什么，是什么造就了这一切？
要看得更深入一些，就要求我们有转换角度的能力。
当你换一种角度来看问题，当你接受另一种观点，你就能在所见所闻中，学到新的东西，我认为这一点非常重要。
让我们看看这个简单的方程：x+x=2x，这是一个很好的模式，也是正确的。因为5+5=2x5，这个等式我们司空见惯了。但是仔细想一想：这是一个等式，它代表一个事物与另一个事物相等，这么表述有两种角度：一种是总和，是相加的过程；另一种是相乘，这是两种不同的角度。
我会进一步说，每个等式都像这样，每一个使用等号连接的数学方程，实际上都是隐喻，是两种事物间的类比。你观察一件事情，产生两种观点，然后用一种语言来表达。
看这个方程。它是最美的等式之一，简单表明了，等式两边都是-1，左手边的是-1，右边的也是。我认为这是数学中很重要的部分——采取不同的观点。
我们继续。
选一个数字好了，我们知道4/3，知道它的含义，就是1.333……，但是一定要加上后面的省略号，否则就不是准确的4/3了，但只有在使用十进制时才如此。我们的数字系统用的是10位计数，如果我们改成2位计数，也就是二进制，就变成了这样。。。
我们现在在讨论数字，讨论4/3这个数字，我们也可以这样表示。。。
我们改变进制，改变数位，就可以用不同的方式书写。所有这些都代表同一个数，我们甚至可以把它简单写作1.3或1.6，取决于我们选用哪种进制。或者我们还可以简单写成这样。。。我喜欢这种，因为它表示4被3除，表现了两个数字间的关系，上边是4，下边是3。你可以用许多方式来把这个数字可视化，从不同的角度来看这个数字。
我在不断尝试，改变观察事物的角度，我是故意这么做的。
让我们画一个网格，假如为4行3列，那么这条线就始终代表5，肯定如此。这是一个美丽的图案，4和3和5。这个长方形，长宽比为4:3，你们见过很多次的，就是你们的屏幕大小的平均值，800 x 600 或是 1600 x 1200，分别是电脑和电视的屏幕。
这都是很好的表达方式
但是我还想再深入一点点，再玩一下这些数字。
现在，你能看到两个圆，我要像这样旋转它们。
看一下左上角的那个，它转得更快一点儿，对吧？你们都能看到。准确来说，它的旋转速度是慢速的4/3倍，也就是说，它每转4圈，另一个圆就会转3圈。现在，画两条线，并标明相交处的点，我们就能得到一个跳舞的点，这个点就来源于4/3这个数字，是吧？
现在，让我来看看它的轨迹。把轨迹画出来，看看是什么样子。。。
这就是数学，就是不断探索会发生什么。
而这来自于4/3这个数字，我觉得，这就是4/3的肖像，比数字好看多了！谢谢！
其实这不算新鲜事了，很早以前就被发现了,但是——但是这仅仅是4/3。
让我们再做一个实验，让我们选一个声音，是这样的：（嘟）。这是一个完美的A，440Hz，把它翻倍，就得到了这个声音，同时播放这两种声音，听起来是这个效果，这是一个八度音，对吧？
我们来玩一个游戏，我们再放一次A，然后我们把它翻为1.5倍，我们称之为纯五度音，把它们一起播放，听起来很不错。
让我们把这个声音翻4/3倍，会怎么样？你们会得到这个声音，纯四度音。
如果第一个音是A，那么这就是一个D，一起播放，是这样的声音，这就是4/3的声音。
这就是改变角度。
我是在从另一个角度看一个数字，也可以用节奏来表示，我可以选一个节奏，在一段时间内敲3下，一段固定的时间，然后在同样的时间内敲4下，单独听很枯燥，但如果放在一起，嘿！好多了！我还可以加点儿踩镲声，听到了吗？所以，这就是4/3的声音，4/3的节律，我还可以继续玩，用这个数字做游戏，4/3是一个超棒的数字，我爱死4/3了！
说真的—— 4/3的价值被低估了。如果你拿一个球体，看看它的体积，会发现其实球体体积就是，某个圆柱体积的4/3倍，所以4/3出现在了球体里，是球的体积。
好，我为什么玩这些？是想跟你们谈谈，理解一件事物的意义。谈谈我们所说的理解是什么，这就是我的目的。
我认为，只有当我们从多个角度去审视同一事物时，才能说我们理解了它。
让我们看看这个字母，这是一个漂亮的R，对吧？你们怎么判断这是个R？因为你们看过各种各样的R，然后进行归纳，提取它们的共性，找到了一种模式，然后你们确认这是一个R，所以，我要说的是，理解事物和变换角度，是有关的。
我是一名教师和演讲者，我可以利用这一点去教课，因为我用隐喻和类比的方法，给学生们换一种方式讲故事，从不同的角度去讲述一件事，我就能让他们真正理解，我让理解变为了可能，因为你们必须要归纳自己的所见所闻，如果我给你们另一个角度 ，你们做起来就会更容易。
让我们再举一个例子，这是4和3，这是4个三角形，这也是某种4/3，让我们把它们连起来，现在我们再玩一个游戏，把它们折叠起来，形成一个三维结构，我喜欢这个，这是一个金字塔形。
让我们再做一个，把它们放在一起，就形成了一个八面体，这是5种正多面体 （又叫柏拉图立体）之一，现在我们可以真的来改变角度，绕各种轴旋转它，从其它角度来观察。我可以改变旋转轴，改变观察角度，还是同一个物体，只是看起来有一些不同。
我可以再做一次，我每调整一次，就会有新东西出现，所以通过改变角度，我能更加了解这个物体，我可以把它作为创造理解的工具，我可以把两个正四面体，像这样穿起来，看看会发生什么，有点儿像正八面体，把它旋转起来再看，发生了什么？如果你把这两个物体拼在一起，旋转它，你就又得到了一个正八面体，一个漂亮的结构！
如果你把它平摊在地上，这就是一个正八面体，正八面体的平面结构图，我还可以继续玩，在正八面体周围画三个大圈，转动看看，三个大圈实际上是与正八面体相连的。
如果我拿一个自行车泵，把它充满气，你会发现，它看起来还是有点儿像正八面体的。
看出来我在做什么了吗？
我在不停改变角度，让我们退后一步——这其实是一个隐喻，退后一步，看看我们在做的事情，我在使用隐喻，在变换角度，进行类比，变换不同的角度，来讲同一个故事，我在叙述，而且做了好几种叙述，我认为这一切使得理解变成可能，我认为这是理解事物的关键，我深信这点。
所以，关于改变你们的角度，对人类来说十分重要。让我们来看看地球，让我们放大到海洋，看看海洋，我们可以放大任何事物。我们以海洋为例，仔细的看看它，我们能观察海浪，或是沙滩，我们也可以从另一个角度看海洋，每变一次角度，我们就能 对海洋了解得多一些。如果我们走到海边，就能闻到海水的味道，对吧？能听到海浪的声音，能尝到风中咸咸的味道，所有这些，都是不同的角度，而这个（角度）是最棒的。
我们进入水中，从内部来观察。你们知道吗？这对数学和计算机科学来说都绝对重要。如果你能从一个结构的内部去进行观察，那你就能够真正认识它，认识到它的本质。所以，当我们一路前行，进入海洋，我们发挥了想象力，我认为这又更深入了一层，是改变角度的必然要求。
我们可以做个游戏，想象一下你正坐在那儿，然后你同时又在上面，你就可以从外部审视你自己了。这听起来很奇怪。
你在改变你的角度，你在使用你的想象力，你在从外部审视你自己，这需要有想象力，数学和计算机科学是最具想象力的艺术形式。
还有一种改变角度的方式，可能更被你们熟知，因为我们每天都在做，叫做共情。
当我从你的角度看世界的时候，我就与你产生了共情。如果我能够真正的理解你们眼中的世界，那我就与你产生了共情。这需要想象力，这就是我们获得理解的方式。
而这种方式充斥了数学和计算机科学领域，共情和这些学科间有着深刻的联系，所以，我的结论是：深入的理解一件事，与转换角度的能力密切相关。
所以我的建议是：尝试转换你的角度，你可以学习数学，这是锻炼大脑的好方法。
变换你们的角度，让思维变得更灵活，它能够让你们易于接受新事物，能够理解事物。
请允许我再使用一次隐喻：让思维像水一样吧，会很不错的，谢谢大家！