线性代数：矩阵基本运算 / 开普饭

在本文中，我们将介绍矩阵的大部分基本运算，依次是矩阵的加减法、矩阵的标量乘法、矩阵与矩阵的乘法、求转置矩阵，以及深入了解矩阵的行列式运算。本文将不会涉及逆矩阵、矩阵的秩等概念，将来再探讨它们。

矩阵的加减法

矩阵的加法与减法运算将接收两个矩阵作为输入，并输出一个新的矩阵。矩阵的加法和减法都是在分量级别上进行的，因此要进行加减的矩阵必须有着相同的维数。

为了避免重复编写加减法的代码，我们先创建一个可以接收运算函数的方法，这个方法将对两个矩阵的分量分别执行传入的某种运算。然后在加法、减法或者其它运算中直接调用它就行了：

class Matrix { // ... componentWiseOperation(func, { rows }) { const newRows = rows.map((row, i) => row.map((element, j) => func(this.rows[i][j], element)) ) return new Matrix(...newRows) } add(other) { return this.componentWiseOperation((a, b) => a + b, other) } subtract(other) { return this.componentWiseOperation((a, b) => a - b, other) }}const one = new Matrix( [1, 2], [3, 4])const other = new Matrix( [5, 6], [7, 8])console.log(one.add(other))// Matrix { rows: [ [ 6, 8 ], [ 10, 12 ] ] }console.log(other.subtract(one))// Matrix { rows: [ [ 4, 4 ], [ 4, 4 ] ] }复制代码

矩阵的标量乘法

矩阵的标量乘法与向量的缩放类似，就是将矩阵中的每个元素都乘上标量：

class Matrix {  // ...  scaleBy(number) {    const newRows = this.rows.map(row =>      row.map(element => element * number)    )    return new Matrix(...newRows)  }}const matrix = new Matrix(  [2, 3],  [4, 5])console.log(matrix.scaleBy(2))// Matrix { rows: [ [ 4, 6 ], [ 8, 10 ] ] }复制代码

矩阵乘法

当 A 、 B 两个矩阵的维数是兼容的时候，就能对这两个矩阵进行矩阵乘法。所谓维数兼容，指的是 A 的列数与 B 的行数相同。矩阵的乘积 AB 是通过对 A 的每一行与矩阵 B 的每一列计算点积得到：

class Matrix { // ... multiply(other) { if (this.rows[0].length !== other.rows.length) { throw new Error('The number of columns of this matrix is not equal to the number of rows of the given matrix.') } const columns = other.columns() const newRows = this.rows.map(row => columns.map(column => sum(row.map((element, i) => element * column[i]))) ) return new Matrix(...newRows) }}const one = new Matrix( [3, -4], [0, -3], [6, -2], [-1, 1])const other = new Matrix( [3, 2, -4], [4, -3, 5])console.log(one.multiply(other))// Matrix {// rows:// [ [ -7, 18, -32 ],// [ -12, 9, -15 ],// [ 10, 18, -34 ],// [ 1, -5, 9 ] ]}复制代码

我们可以把矩阵乘法 AB 视为先后应用 A 和 B 两个线性变换矩阵。为了更好地理解这种概念，可以看一看我们的linear-algebra-demo。

下图中黄色的部分就是对红色方块应用线性变换 C 的结果。而线性变换 C 就是矩阵乘法 AB 的结果，其中 A 是做相对于 y 轴进行反射的变换矩阵， B 是做剪切变换的矩阵。

如果在矩阵乘法中调换 A 和 B 的顺序，我们会得到一个不同的结果，因为相当于先应用了 B 的剪切变换，再应用 A 的反射变换：

转置

转置矩阵由公式定义。换句话说，我们通过关于矩阵的对角线对其进行翻转来得到转置矩阵。需要注意的是，矩阵对角线上的元素不受转置运算影响。

class Matrix {  // ...  transpose() {    return new Matrix(...this.columns())  }}const matrix = new Matrix(  [0,  1,  2],  [3,  4,  5],  [6,  7,  8],  [9, 10, 11])console.log(matrix.transpose())// Matrix {//   rows: [//     [ 0, 3, 6, 9 ],//     [ 1, 4, 7, 10 ],//     [ 2, 5, 8, 11 ]//   ]// }复制代码

行列式运算

矩阵的 行列式 运算将计算矩阵中的所有系数，最后输出一个数字。准确地说，行列式可以描述一个由矩阵行构成的向量的相对几何指标（比如在欧式空间中的有向面积、体积等空间概念）。更准确地说，矩阵 A 的行列式相当于告诉你由 A 的行定义的方块的体积。矩阵的行列式运算如下所示：

矩阵的行列式运算如下所示：

我们的方法可以计算任意大小矩阵（只要其行列的数量相同）的行列式：

class Matrix { // ... determinant() { if (this.rows.length !== this.rows[0].length) { throw new Error('Only matrices with the same number of rows and columns are supported.') } if (this.rows.length === 2) { return this.rows[0][0] * this.rows[1][1] - this.rows[0][1] * this.rows[1][0] } const parts = this.rows[0].map((coef, index) => { const matrixRows = this.rows.slice(1).map(row => [ ...row.slice(0, index), ...row.slice(index + 1)]) const matrix = new Matrix(...matrixRows) const result = coef * matrix.determinant() return index % 2 === 0 ? result : -result }) return sum(parts) }}const matrix2 = new Matrix( [ 0, 3], [-2, 1])console.log(matrix2.determinant())// 6const matrix3 = new Matrix( [2, -3, 1], [2, 0, -1], [1, 4, 5])console.log(matrix3.determinant())// 49const matrix4 = new Matrix( [3, 0, 2, -1], [1, 2, 0, -2], [4, 0, 6, -3], [5, 0, 2, 0])console.log(matrix4.determinant())// 20复制代码

行列式可以告诉我们变换时对象被拉伸的程度。因此我们可以将其视为线性变换改变面积的因子。为了更好地理解这个概念，请参考linear-algebra-demo：

在下图中，我们可以看到对红色的 1×1 方形进行线性变换后得到了一个 3×2 的长方形，面积从 1 变为了 6 ，这个数字与线性变换矩阵的行列式值相同。