信号与系统学习经验谈——信号与系统综述

• 信号与系统综述

• 如何学好信号与系统这门课

• 学好信号与系统的关键

• 我学习信号与系统的过程

一、信号与系统综述

《信号与系统》是电子、信息类专业的专业基础课，为后续课如通信原理、数字信号处理等的学习打下基础，可以说，信号与系统课程学习的好坏，对整个电子信息类专业课程的学习至关重要，因为它起着承上启下的作用。可惜我们的同学这门课都学得不好。从功利和追求真理两个角度来说，都应该学好这门课：从功利的角度来说，这门课学分多，难学，能拉开与其他学生的距离，获得好的绩点对毕业评优很有好处，是某些专业考研的必考科目；从掌握真理的角度来说，学好这门课是理解通信过程的一个关键环节，否则不仅后续课如通信原理、数字信号处理不好理解，而且对通信的基本问题，如信号无失真失真传输的条件、带限信号采样定理、信号调制等都不能理解，即使大学本科毕业了，其实对通信还是一个“门外汉”。

《信号与系统》这门课的主要内容，可以从它的课程名字，即“信号”与“系统”及为了研究信号与系统的求解而引入的“变换”这三个方面来说明。

1、信号

信号是信息的载体，任何信息都通过信号作为载体来传输。有的信号如声音信号、图像信号等模拟信号是我们本身需要的，有的信号如各种调制信号是为了信号的传输而产生的，如模拟调制信号、数字调制信号，那么我们需要掌握信号的各种性质，包括时域的性质和频域的性质。

信号在时域有哪些性质呢？我们在时域能对信号进行哪些处理呢？

①信号在时域有连续性和离散型之分，连续性和离散型指时间取值，离散信号是数字时代的基本特征，它是对连续信号进行等间隔采样取得的。对连续信号，有两个特殊的信号很重要：阶跃信号和冲激信号，它们往往是描述其他连续信号的基础；对离散信号，也有两个重要的特殊信号：单位采样信号和单位阶跃信号。吴大正教材一般称“函数”，这里我们一般称“信号”，同样地，这两个信号也是描述其他离散信号的基础。

②信号在时域可以进行各种运算，如相加、相减、反转、平移、幅度伸缩、时间伸缩(即尺度变换)。注意离散信号一般不做尺度变换，因为可能丢失原信号的部分信息。

③信号在时域有周期性和非周期性之分，它们在频域的性质差别是很大的：前者在频域是离散的，后者在频域是连续的。

④根据信号的能量有限性和功率有限性，将信号分为能量信号和功率信号，能量信号对应的频域描述是频谱密度和能量谱密度，功率信号对应的频域描述是频谱和功率谱密度。

⑤信号在时域的自相关函数是一个很重要的概念，它不仅反映了信号的自相关程度，而且根据维纳-欣钦公式，它是联系时域和频域的一个纽带。

以上孤立地研究信号，没有考虑系统的作用，任何信号都是在一定的系统中起作用的，因此必须要考虑系统的性质及信号和系统的相互作用。

2、系统

简单地说，系统就是完成一定功能的整体，如消化系统、生态系统等，在通信中就是通信系统，本课程主要是电路系统，因为信号是电信号，系统是对电信号进行处理的。

为什么要研究系统呢？一是因为信号必须在一定的系统中才起作用，才能传输和处理，比如信号要无失真地传输，对系统必须有一定的要求；二是系统本身具有一定的功能和性质，必须专门研究，比如如何实现各种不同功能的系统。

①本课程的系统最重要的特征是线性，此外还有时不变性，由于有这两个假设，研究起来就比较方便，而且现实的系统一般都满足这两个条件。简单说，因果性就是指结果不能发生在原因之前。因果性很重要，因为它关系到系统能否实现，模拟的非因果系统是不能实现的，但是数字非因果系统可以利用延迟电路来实现，这体现了数字信号处理的优越性。稳定性也很重要，因为它关系到系统能否正常工作。系统的四性，即线性、时不变性、因果性、稳定性是对系统总的概括，必须首先深刻理解。

②当系统的激励和响应都是连续信号时，称为连续系统，连续系统的激励与响应的关系用微分方程来描述；当激励和响应都是离散信号时，称为离散系统，离散系统的激励与响应的关系用差分方程来描述。

③当系统是已知的，给出任意激励，求出系统的响应是一个基本任务，时域的求解有两个方法：一个是求解微分方程或差分方程，这是一种纯粹的数学方法，其中求连续系统的冲激响应通常是很麻烦的，后面我们会看到在变换域中求冲激响应是很简单的；另一个是信号分解的方法，求出基本信号(冲激信号、单位采样信号)的响应，然后利用信号的分解和系统的线性和时不变性，由此得出系统的总响应，并由此导出卷积、卷积和的概念。

求冲激响应的匹配法是一个很变态的理论，太繁琐了，不要求掌握，初步了解一下就可以了，因为后面有求解这类问题的非常高效的方法，即拉氏变换法。

一个系统的特性完全由冲激响应或者单位采样响应决定，为什么呢？这是因为冲激信号和单位采样信号的频谱是一条“水平线”，它包含了所有的频率分量，而且所有频率分量的能量都是一样的，这样的信号经过一个系统之后，系统的响应就完全决定了系统的性质。

事实上，卷积(卷积和)的方法有时甚至比求解微分(差分方程)更麻烦，但是卷积方法包含了明显的物理意义，由信号分解的方法导出很多优美的理论，如傅里叶变换、拉氏变换和z变换等，它们本质上都是信号分解的方法。例如，傅里叶变换将信号分解为正弦信号或复指数信号之和，基本的复指数信号经过系统之后，还是一个同频率的复指数信号，但是其幅度和相位发生了改变，幅度和相位如何改变，完全由系统本身的性质决定，由此发展出线性时不变系统的频域分析方法。

3、变换

信号与系统的核心内容是三个变换，及由变换引入的很多概念和方法。

①三个变换，即傅里叶变换、拉氏变换和z变换，其中傅里叶变换的物理意义最丰富，由它引入很多有实在意义的概念，如幅频特性、相频特性、频移特性(调制)、能量谱、功率谱、带宽等。此外，信号无失真传输的条件、吉布斯现象、取样定理等，都涉及傅里叶变换。由离散傅里叶级数和离散时间傅里叶变换结合，引入离散傅里叶变换的概念，它是现代数字信号处理最重要的分析工具。另外两个变换，即拉氏变换和z变换，它们作为一种分析工具的意味更强一些，但是也包含很多物理意义，并且和傅里叶变换有着一定的联系。

②拉氏变换是为了克服傅里叶变换的两个缺点而引入的，因而威力更大一些，解决的问题更多一些，并且傅里叶变换就是一种特殊情况下的拉氏变换。拉氏变换也是一种信号分解的处理方法，不过它将信号分解为另一种形式的复指数信号，在求系统响应和卷积方面，拉氏变换有着很高的效率：它将微分方程变成代数方程，将卷积变成乘积。由拉氏变换可以导出系统函数，当然就更有物理意义了：由系统函数可以判断系统的性质如系统的冲激响应、滤波特性、稳定性等，它也是电路设计的基础。

③z变换是为了分析和求解离散系统而引入的，它将差分方程变成代数方程，将卷积和变成乘积。z变换也是一种信号分解方法，它的基本信号也是一个复指数信号。

相对连续系统的信号来说，离散信号的一些概念更难理解一些，如数字角频率、幅频特性、相频特性等，这些概念需要反复体会，将模拟系统和数字系统进行对照分析、理解。

④三个变换的性质很多，都有差不多十条，学好其中一个变换的性质，然后将另两个进行对比，可以收到事半功倍的效果。

二、如何学好信号与系统这门课

信号与系统教材公式之多，比高等数学有过之而无不及，很多学生因此望而生畏，那么如何学好这门课呢？下面提几条建议。

1、理解物理意义

信号与系统不是高等数学，物理意义很重要，学习任何一个概念和理论，都要注重理解其物理意义。如果追求数学技巧而忽视公式背后的物理意义，就是舍本逐末、因小失大了。数学只是工具，有时是很强大的工具(如各种变换)，但是一定要注意理解数学背后的物理意义，以及为什么要引入这些工具，由这些工具又引出了哪些重要的概念和方法。数学是为解决问题的工具，背后的物理意义是我们需要关注的焦点。

2、对比是一个很好的方法

将微分方程的经典解和差分方程的经典解对比，将卷积和卷积和对比，将冲激响应和单位序列响应对比，将傅里叶变换和拉氏变换对比，将拉氏变换和z变换对比，这些对比都有助于提高学习效率，加深理解，收到事半功倍的效果。将时域分析方法和变换域方法进行对比，可以更好地理解变换域方法的优势。

3、推导各种变换公式，是很好的基本功训练

傅里叶变换、拉氏变换和z变换三大变换都有专门的表可供参考，但是我建议每个想学好《信号与系统》这门课的同学都独立把所有公式都推导一遍，好处是：在推导过程中，反复用到各种变换的性质，无形中更加深刻地领会变换的各种性质。下面是我推导的吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)附录五“拉普拉斯逆变换表”所有公式，并改正了其中的一个错误，即编号为4-2的变换。我把推导过程详细地写下来，发给同学们看，如下图所示。我敢打包票地说，我写的公式推导没有一个学生认真地阅读。

4、一定数量的刷题是必不可少的

学习任何理论，刷一定数量的题目都是不可少的，因为书上的理论都是放之四海而皆准的真理，是“矛盾的普遍性”，怎样拿这些普遍真理取解决实际问题，是“矛盾的特殊性”，要把普遍性和特殊性结合起来，唯有刷题，解决实际问题。会做题了，说明对基本理论掌握了，融会贯通了，否则需要继续加深对基础理论的理解，即看书学习。

牛顿有一句名言：“你若想获得知识，你该下苦功；你若想获得食物，你该下苦功；你若想得到快乐，你也该下苦功，因为辛苦是获得一切的定律。”让我们不畏艰险，勇敢地克服学习上的一道道难关吧。

三、学好信号与系统的关键

学好信号与系统有两个关键：复数和信号分解。

1、 复数

复数是一个很强大的工具，能将很复杂的数学问题很简单地表达出来，没有复数这个有力的工具，真不知道信号与系统这门课将会复杂到什么程度，也许根本不会出现这门学问。

2、 信号分解

没有信号的分解，要求出任意信号通过系统的响应将会是很困难的。各种变换其实就是信号分解思想的运用。信号分解可以在两个域中进行：时域和变换域。在时域，将复杂的信号分解为基本信号，由基本信号通过系统的响应和系统的线性时不变性质，可以推出卷积、卷积和公式，但是计算仍然太麻烦，于是引入另一种信号分解，即变换域分解。傅里叶变换将信号分解为许多不同频率信号的叠加，拉氏变换和z变换将信号分解为另两种形式的复指数信号。分解的好处是把困难的问题化为简单的问题。

四、我学习信号与系统的过程

我的本科是在中山大学读的，学的不是通信，所以几乎所有的通信知识都是自学掌握的。在学习中遇到一些问题，数学方面当然没有任何障碍，困难主要在于物理意义的理解上。在和师兄弟讨论学术问题时，我才意识到自己对很多理论没有真正理解，完全是把专业理论课当做数学来学的。直到我将《信号与系统》、《通信原理》和《数字信号处理》等重要课程都讲了一遍之后，很多理论的物理意义我才有了比较深刻的理解，而且能融会贯通，能解释现实中的各种通信现象。所以，我在前面特别强调对数学公式中的物理意义的理解。

我自学信号与系统这门课时，用的是这本教材：陈生潭等的《信号与系统》(第二版)，西安电子科技大学出版社。

窃以为这本书比吴大正的那本教材更好，可能是先入为主的缘故吧。该书理论讲得很好，美中不足的是课后习题答案很多错误，可能是研究生甚至是本科生帮忙做的，我把能发现的错误都更正过来了。

我自学信号与系统时，一般是每一章花三天：一天看理论，两天做习题，全书二十多天结束。做题时，我不是有选择地做，而是从头到尾全部做完，只有极少数的题目没有做。中国古时有谚语：贼来如梳，兵来如篦，官来如剃，我做题一般是“官来如剃”的。现在的学生是连稀稀拉拉地“梳”一下习题都不认真的，更不用说“篦”和“剃”了。不做习题，就不会灵活地运用所学的理论，要么是完全不懂，要么是似懂非懂。学习各种变换的性质时，不仅要知其然，也要知其所以然，懂得每一条性质的来龙去脉，即把证明过程看懂。

最后，再重复一遍牛顿的名言：

你若想获得知识，你该下苦功；你若想获得食物，你该下苦功；你若想得到快乐，你也该下苦功，因为辛苦是获得一切的定律。